Развитие математических способностей у детей. Развитие математических способностей у дошкольника

Развитие математических способностей.

Способности к изучению математики - это те индивидуальные особенности умственной деятельности школьника, которые обуславливают успешное овладение математикой как учебным предметом, относительно быстрое, лёгкое и глубокое овладение знаниями, умениями, навыками в области математики. Какие же особенности умственной деятельности определяют успешное усвоение школьником математики?

Одним из решающих условий является активное, положительное отношение ученика к математике, интерес к ней, склонность заниматься ею.

Другое важное условие- наличие характерологических черт, таких как, целеустремлённость, настойчивость, трудолюбие, организованность, сосредоточенность. Велика роль и так называемых интеллектуальных чувств (чувство удовлетворения от напряжённой умственной деятельности, радость творчества).Интерес к математике необходим, но сам по себе он не является способностью. Без настойчивости математикой не овладеешь, но математической способностью её назвать нельзя. Поэтому, наряду с условиями успешного овладения математикой выделяем и собственно математические способности как особенности умственной деятельности человека.

Чем же характеризуется умственная деятельность способных к математике учащихся?

Способности к математике сказываются, прежде всего, в особенностях восприятия школьником математической задачи(задачи в широком смысле слова- арифметической, геометрической).Способные учащиеся, впервые знакомясь с задачей, сразу выделяют показатели, существенные для данного типа задачи, и величины, несущественные для данного типа задачи, но существенные для конкретного варианта. Это позволяет способным учащимся сразу видеть её «скелет», очищенные от всех конкретных значений и словно «просвечивающий» сквозь конкретные данные. Они быстро могут отнести задачу или математическое выражение к определённому типу.

Способный к математике ученик умеет последовательно, обоснованно, логически рассуждать. В частности он способен к широкому обобщению математических объектов, отношений и действий. Например, изучив формулу квадрата разности двух чисел, ученик сразу видит возможность быстрого решения в уме примера 99 2 путём применения этой формулы, как (100-1) 2 .

Многочисленные наблюдения дают возможность выделить те внешние признаки, на основании которых можно предполагать наличие у детей математических способностей.

Во- первых - явный интерес к математике, который проявляет ребёнок, склонность без принуждения, с удовольствием заниматься ею.

Во- вторых- овладение определёнными математическими умениями и навыками в раннем возрасте. Известно, что математические способности нередко начинают формироваться у детей сравнительно рано. У некоторых великих математиков они начинали формироваться уже в дошкольном или в раннем возрасте, задолго до систематического обучения математики (К.Ф.Гаусс, С.В. Ковалевская).

В- третьих- быстрое продвижение в области овладения математикой. Способный ученик сравнительно быстро и легко овладевает математическими умениями и навыками.

В- четвёртых- относительно высокий уровень развития, уровень достижений. Речь идёт об относительно высоком уровне достижений, при котором необходимо принимать во внимание возраст ребёнка. Если понятие об отрицательном числе или умение доказать теорему овладевает четырнадцатилетний школьник, то этот факт сам по себе никак не может говорить о математических способностях. Но если этими понятиями или навыками овладеет ребёнок 5-6 лет, то это, конечно, совсем другое дело.

Конечно, предоставляя школьникам большие или меньшие возможности для творческих поисков решения проблемы, взрослые не должны занимать пассивной позиции. Они должны помогать учащимся, чтобы избежать топтания на месте.

Такое обучение (его называют - проблемное обучение) может осуществляться на разных уровнях. Практика обучения заключается в том, что взрослый направляет ребёнка на то, чтобы решить проблему(вывести формулу, доказать теорему).

Например, при изучении квадрата суммы и разности двух выражений учитель предлагает серию заданий: выполнить умножение многочленов

(а+б)(а+б) ; (2х-в)(2х-в); (у+х)(у+х) и с помощью вопросов и наблюдений учащихся подвести их к формуле.

По характеру проявления познавательного интереса в процессе изучения предмета выделяют уровни развития познавательного интереса: низкий уровень, средний уровень, высокий уровень. У учащихся с низким уровнем развития познавательного интереса активность на уроке ситуативная, часты отвлечения, предпочтение отдаётся задачам репродуктивного характера. Учащиеся со средним уровнем развития познавательного интереса предпочитают также поисковый характер деятельности, но не всегда склонны к выполнению творческих заданий, их самостоятельная деятельность носит эпизодический характер, зависит от внешних стимулов. Учащиеся с высоким уровнем развития познавательного интереса отличается самостоятельностью, активным участием на уроке, предпочтением учебной деятельности более трудного характера.

Наиболее эффективным путём формирования познавательного интереса к математике является задача. Условия формирования интереса:

Владение понятием познавательный интерес;

Учёт возрастных и индивидуальных особенностей;

Трудность задачи (следует помнить, что при достаточно высокой трудности интерес к решению задачи пропадает);

Свойство школьной локальной устойчивости задачи (интерес к какой- либо задаче способен вызвать интерес к похожим задачам). Сформулированные условия необходимы и достаточны.

Основные требования развития познавательного интереса к математике:

Система задач соответствует общей учебной цели;

Система задач обеспечивает дифференцированное обучение.

Надо помнить, что математические способности сочетаются с глубокими и действенными интересами и склонностями к математике. Изучая математические способности В.А. Крутецкий установил, что для успеха в математике необходимы:

1.активное положительное отношение к математике, склонность заниматься ею, переходящая на высоком уровне развития в страстную увлечённость;

2. ряд характерных черт, прежде всего, трудолюбие, организованность, самостоятельность, целеустремлённость, настойчивость, а также устойчивые интеллектуальные чувства;

3. наличие во время деятельности благоприятных для её выполнения психических состояний;

4. определённый фонд знаний, умений и навыков в соответствующей области;

5. определённые индивидуально- психологические особенности в сенсорной и умственной сферах, отвечающие требованиям данной деятельности.

Первые четыре критерия следует рассматривать как общие свойства, необходимые для любой деятельности. Последняя группа качеств является специфической, проявляющей успешность только в математической деятельности.

Для поддержания интереса необходимо вовлечь школьника в активное участие в математическом кружке. Для пробуждения и развития интереса к математике важно популярно показать её значение в современной жизни. Хорошее средство формирование интереса к математике постановка и решение практически значимых для школьника задач. Очень полезно учащимся читать научно-популярную литературу, решать интересные задачи на смекалку. Следует систематически побуждать школьника упражняться в решении оригинальных и интересных задач на соображение. Задачи не только полезны, но и интересны, и учащиеся обычно с большим увлечением решают их. Рассмотрим предложенные Крутецким, Линьковой идр. психологами- математиками задачи:

1.задачи с несформулированным вопросом. Серия этих задач направлена на выявление особенностей умственного восприятия задачи в процессе математической деятельности.

2.Задачи с недостающими данными. Серия этих задач также направлена на выявление особенностей восприятия.

3. Задачи с изменёнными данными. Серия этих задач также направлена на выявление особенностей умственного восприятия задачи. В эти задачи введены дополнительные ненужные данные, до известной степени маскирующие необходимые для решения показатели.

4.Задачи на доказательство. Учащиеся упражняются в построении правильного, обоснованного, последовательного рассуждения.

5.Задачи на рассуждение(или составление уравнений).

6. Задачи с несколькими решениями. Для упражнения гибкости мышления важно, чтобы школьник умел находить несколько решений одной и той же задачи.

7.Задачи на соображение. Для решения указанных задач не требуется никаких специальных знаний, однако необходимо проявить известную изобретательность.

8.Задачи на логическое рассуждение. На задачах этой серии тренируется способность логически рассуждать, смекалка и сообразительность.

9. Задачи с наглядным решением. Эти задачи сравнительно легко решаются с применением наглядно- образных средств(рисунков, схем, чертежей).

10.Задачи, требующие наглядных представлений. Решение подобных задач тренирует пространственное представление, способность мысленно «видеть» соответствующие фигуры, тела, пространственные соотношения. Учащиеся должны решать в уме, без помощи карандаша и бумаги.

11.Системы типовых задач. Задачи предназначены для исследования особенностей умственного восприятия, мышления, памяти.

12.Нереальные задачи.

13. Задачи с меняющимся содержанием.

14. Прямые и обратные задачи.

15.Задачи со сложным, трудным для запоминания условием. Эти задачи предназначены на выявление особенностей памяти.

16.Задачи, решение которых требует наличие пространственных представлений.

Все эти задачи предназначены для развития и формирования восприятия, логического рассуждения, смекалки, сообразительности, памяти, пространственного воображения и мышления.

Развитию логического мышления так же способствует многообразие текстовых задач, решаемых арифметическим путём. Большую роль играет принцип моделирования в обучении решению задач, средство обучения способам рассуждений, анализу ситуации, выбора стратегии решения задач. В обучении решению задач используются для записи условия схематические рисунки, модели, позволяющие представлять рассматриваемую ситуацию наглядно, без которых трудно понять логику рассуждений.

Проблемные вопросы и проблемные задачи способствуют развитию мышления, переходу от одного уровня на другой.

Общеизвестно высказывание М.Горького: «Талант развивается из чувства любви к делу». Роль, которую здесь играет склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек, склонный заниматься ею, энергично упражняет и развивает свои способности, приобретая соответствующие умения и навыки.

Таким образом, развитие математических способностей учащихся в процессе изучения математики является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателями в современной школе. Основным средством такого воспитания и развития математических способностей учащихся являются задачи. Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач- шуток, математических ребусов, софизмов, анаграмм.

Поиск новых путей активизации творческой деятельности учащихся является одной из неотложных задач современной педагогики и психологии.

Примеры задач для развития математических способностей.

1.На протяжении 155 м уложено 25 труб длиной 5м и 8 м. Сколько уложено тех и других труб?

2.До конца суток осталось 4/5 того, что уже протекло от начала суток. Который сейчас час?

3.Банка с мёдом весит 500г. Такая же банка с керосином -350г. Сколько весит пустая банка?

4.Даны две окружности. Радиус первой – 3 см, расстояние между их центрами 10см. Пересекаются ли эти окружности? (Требуется знать радиус второй).

5.Все целые числа, начиная с 1, выписаны подряд. Какая цифра стоит на 1995 месте?

6. Шли 12 человек и несли дюжину хлебов. Каждый мужчина нёс по 2 хлеба, каждая женщина - по полхлеба, а каждый ребёнок – по четверти хлеба. Сколько шло мужчин, женщин и детей?

Математическое развитие детей дошкольного возраста осуществляется как в результате приобретения ребенком знаний в повседневной жизни (прежде всего в результате общения со взрослым), так и путем целенаправленного обучения на занятиях по формированию элементарных математических знаний.

В процессе обучения у детей развивается способность точнее и полнее воспринимать окружающий мир, выделять признаки предметов и явлений, раскрывать их связи, замечать свойства, интерпретировать наблюдаемое; формируются мыслительные действия, приемы умственной деятельности, создаются внутренние условия для перехода к новым формам памяти, мышления и воображения.

Между обучением и развитием существует взаимная связь. Обучение активно содействует развитию ребенка, но и само значительно опирается на его уровень развития.

Известно, что математика - это мощный фактор интеллектуального развития ребенка, формирования его познавательных и творческих способностей. От эффективности математического развития ребенка в дошкольном возрасте зависит успешность обучения математике в начальной школе.

Почему же многим детям так трудно дается математика не только в начальной школе, но уже сейчас, в период подготовки к учебной деятельности?

В современных обучающих программах начальной школы важное значение придается логической составляющей.

Развитие логического мышления ребенка подразумевает формирование логических приемов мыслительной деятельности, а также умения понимать и прослеживать причинно-следственные связи явлений и умения выстраивать простейшие умозаключения на основе причинно-следственной связи.

Многие родители полагают, что главное при подготовке к школе - это познакомить ребенка с цифрами и научить его писать, считать, складывать и вычитать (на деле это обычно выливается в попытку выучить наизусть результаты сложения и вычитания в пределах 10).

Однако при обучении математике эти умения очень недолго выручают ребенка на уроках математики. Запас заученных знаний кончается очень быстро (через месяц-два), и несформированность собственного умения продуктивно мыслить (то есть самостоятельно выполнять указанные выше мыслительные действия на математическом содержании) очень быстро приводит к появлению "проблем с математикой".

В то же время ребенок с развитым логическим мышлением всегда имеет больше шансов быть успешным в математике, даже если он не был заранее научен элементам школьной программы (счету, вычислениям и т. п.).

Школьная программа построена таким образом, что уже на первых уроках ребенок должен использовать умения сравнивать, классифицировать, анализировать и обобщать результаты своей деятельности.

Тренировка логического мышления

Логическое мышление формируется, на основе образного является высшей стадией развития детского мышления.

Достижение этой стадии – деятельный и сложный процесс, так как полноценное развитие логического мышления требует не только высокой активности умственной деятельности, но и обобщенных знаний об общих и существенных признаках предметов и явлений действительности, которые закреплены в словах.

Приблизительно к 14 годам ребенок достигает стадии формально-логических операций, когда его мышление приобретает черты, характерные для мыслительной деятельности взрослых. Однако, начинать развитие логического мышления следует в дошкольном детстве. Так, например, в 5-7 лет ребенок уже в состоянии овладеть на элементарном уровне такими приемами логического мышления, как сравнение, обобщение, классификация, систематизация и смысловое соотнесение. На первых этапах формирование этих приемов должно осуществляться с опорой на наглядный, конкретный материал и как бы с участием наглядно-образного мышления.

Однако не следует думать, что развитое логическое мышление - это природный дар, с наличием или отсутствием которого следует смириться. Существует большое количество исследований, подтверждающих, что развитием логического мышления можно и нужно заниматься (даже в тех случаях, когда природные задатки ребенка в этой области весьма скромны). Прежде всего разберемся в том, из чего складывается логическое мышление.

Как научить ребенка сравнивать

Сравнение – это прием, направленный на установление признаков сходства и различия между предметами и явлениями.

К 5-6 годам ребенок обычно уже умеет сравнивать различные предметы между собой, но делает это, как правило, на основе всего нескольких признаков (например, цвета, формы, величины и некоторых других). Кроме того, выделение этих признаков часто носит случайный характер и не оперируется на разносторонний анализ объекта.

В ходе обучения приему сравнивания ребенок должен овладеть следующими умениями:

1. Выделять признаки (свойства) объекта на основе сопоставления его с другим объектом.

Дети 6 лет обычно выделяют в предмете всего два-три свойства, в то время как их бесконечное множество. Чтобы ребенок смог увидеть это множество свойств, он должен научиться анализировать предмет с разных сторон, сопоставлять этот предмет с другим предметом, обладающим иными свойствами. Заранее подбирая предметы для сравнения можно постепенно научить ребенка видеть в них такие качества, которые ранее были от него скрыты. Вместе с тем, хорошо овладеть этим умением – значит научиться, не только выделять свойства предмета, но и называть их.

2. Определять общие и отличительные признаки (свойства) сравниваемых объектов.

Когда ребенок научился выделять свойства, сравнения один предмет с другим, следует начать формирование умения определять общие и отличительные признаки предметов. В первую очередь нужно обучить умению проводить сравнительный анализ выделенных свойств и находить их отличия. Затем следует перейти к общим свойствам. При этом сначала важно научить ребенка видеть общие свойства у двух предметов, а потом у нескольких.

3. Отличать существенные и несущественные признаки (свойства) объекта, когда существенные свойства заданы или легко находимы.

Можно попробовать показать на простых примерах, как соотносятся между собой понятия "общий" признак и "существенный" признак. Важно обратить внимание ребенка на то, что "общий" признак не всегда является "существенным", но "существенный" – всегда "общим". Например, покажите ребенку два предмета, где "общим", но "несущественным" признаком у них является цвет, а "общим" и "существенным" – форма.

Умение находить существенные признаки объекта является одной из важных предпосылок овладения приемом обобщения.

Что значит "быть внимательным"

Чтобы "быть внимательным", нужно иметь хорошо развитые свойства внимания - концентрированность, устойчивость, объем, распределяемость и переключаемость.

Концентрированность – это степень сосредоточенности на одном и том же предмете, объекте деятельности.

Устойчивость – это характеристика внимания во времени. Она определяется длительностью сохранения внимания на одном и том же объекте или одной и той же задаче.

Объем внимания – это количество объектов, которое человек способен воспринять, охватить при одномоментном предъявлении. К 6-7 годам ребенок может с достаточной детализацией воспринимать одновременно до 3 предметов.

Распределяемость – это свойство внимания, проявляющееся в процессе деятельности, требующей выполнения не одного, а, по крайней мере, двух разных действий одновременно, например, слушать учителя и одновременно письменно фиксировать какие-то фрагменты объяснения.

Переключаемость внимания – это скорость перемещения фокуса внимания с одного объекта на другой, перехода от одного вида деятельности к другому. Такой переход всегда связан с волевым усилием. Чем выше степень концентрации внимания на одной деятельности, тем труднее переключиться на другую.

Стремитесь ли Вы развивать интеллект своего ребенка

Интеллект – это своеобразный способ мышления, уникальный и исключительный для каждого человека.

Он определяется способностью сосредоточиваться на познавательном задании, умением гибко переключаться, сравнивать, быстро устанавливать причинно-следственные связи, делать умозаключения и т.д.

Развитие интеллекта, психологический комфорт, в процессе умственной деятельности, и чувство счастья у ребенка очень тесно связаны между собой.

В возрасте 5-7 лет следует развивать у ребенка способность

1. Длительно удерживать интенсивное внимание на одном и том же объекте или на одной и той же задаче (устойчивость и концентрированность внимания). Устойчивость внимания существенно повышается, если ребенок активно взаимодействует с объектом, например, рассматривает его и изучает, а не просто смотрит. При высокой концентрации внимания ребенок замечает в предметах и явления значительно больше, чем при обычном состоянии сознания.

2. Быстро переключать внимания с одного объекта на другой, переходить с одного вида деятельности на другой (переключаемость внимания).

3. Подчинять свое внимание сознательно поставленной цели и требованиям деятельности (произвольность внимания). Именно благодаря развитию произвольного внимания ребенка становится способным активно, избирательно "извлекать" из памяти нужную ему информацию, выделять главное, существенное, принимать правильные решения.

4. Подмечать в предметах и явлениях малозаметные, но существенные особенности (наблюдательность).

Наблюдательность – один из важных компонентов интеллекта человека. Первой отличительной особенностью наблюдательности является то, что она проявляется в результате внутренней умственной активности, когда человек старается познать, изучить объект по собственной инициативе, а не по указанию извне. Вторая особенность – наблюдательность тесно связана с памятью и мышлением.

Математика — наука непростая, однако нужна всегда и везде, недаром говорят, что математика — царица наук! Что делать, если освоение этого предмета вызывает у детей трудности? С чем это связано и как помочь ребенку?

Не стоит думать, что математические способности — это врожденный дар, с наличием или отсутствием которого нам придется смириться. Математические способности, так же, как и другие, можно и нужно развивать. Поэтому мы можем не только обучать дошкольника основам чтения, письма и счета, но и работать над формированием так называемого математического склада ума.

Что это такое? Скажем, если ребенок хорошо считает, складывает и вычитает, можем ли мы сделать вывод о том, что перед нами будущий математик? На самом деле вычислительные способности — это лишь одна грань из мира математической науки.

В общепринятом смысле математический склад ума — это предрасположенность к изучению точных наук, особенный взгляд на мир, в котором всегда есть место формулам, схемам и таблицам. Кроме того, математический склад ума подразумевает хорошо развитое пространственное, абстрактное и логическое мышление. Вот над этим мы с вами и можем поработать. С помощью различных дидактических игр мы можем развивать у дошкольника важные компоненты логического мышления.

Как научить ребенка сравнивать. Сравнение выражается в умении видеть одинаковое в различном и различное в одинаковом. Сравнивать можно по разным параметрам и критериям. Например:

• Чем отличается круглый стол от квадратного? (формой)
• Чем отличается деревянная дверь от железной? (материалом)

Сравнивать предметы можно по цвету, форме, величине, количеству, по принадлежности, по функциям и т.д.

Умение обобщать очень пригодится на уроках математики в школе. Многие задачи построены на обобщении. Ребенок-дошкольник уже использует в своей речи понятия «квадрат», «круг», «треугольник» и даже «трапеция», но мало кто из ребят способен назвать все эти понятия одним словом. Обучаем ребенка обобщать понятия:

• Свекла, капуста, морковь — это овощи.
• Куртка, свитер, брюки — одежда.
• Врач, учитель, строитель — профессии.
• Чашка, тарелка, кастрюля — посуда.

Также можно поиграть в игру наоборот («ограничить» понятие, подобрать примеры):

• Деревья: .... (береза, тополь...)
• Времена года: ....
• Столовые приборы: ....

Анализ и синтез. Эти базовые мыслительные операции присутствуют во всех сферах человеческой деятельности. Анализируя, ребенок мысленно разделяет предмет или объект на его составляющие: растение — на корень, стебель, листья и плоды; радугу — на 7 цветов; сказочную историю — на отдельные повороты сюжета. Синтез — операция, обратная анализу. Дошкольники могут по признакам отгадать загаданный предмет, из букв сложить слова, а из слов — предложения. Всевозможные пазлы, в том числе и самодельные (когда мы разрезаем картинку или геометрическую фигуру, а потом собираем или склеиваем ее), также помогают тренировать эти навыки.

Более высокий уровень обобщения позволяет ребенку освоить классификацию предметов, объектов и их свойств. Классификация — это отнесение объекта к группе на основе видо-родовых признаков. Для тренировки этой мыслительной операции можно делать следующие упражнения:

• Разделяем всех животных на диких и домашних; фигуры — на «с углами и без».
• Убираем лишнее в ряду: яблоко, груша, мяч (ребенок должен объяснить, что лишнее, обобщить оставшуюся группу предметов).
• Усложняем задание: яблоко, груша, помидор.

Нередки случаи, когда в подобных заданиях дети дают на первый взгляд неправильные ответы, но если ребенок может аргументировать свой выбор (скажем, он выделил лишнее по цвету), то его вариант стоит засчитать.

С помощью вышеперечисленных методик мы также развиваем речь дошкольника, потихоньку помогая ему осваивать словесно-логическое мышление. Для юного математика умение соотносить, рассуждать и делать выводы — очень полезная вещь.

Всевозможные логические задачки, загадки, головоломки и ребусы — все это очень заинтересовывает дошколят и хорошо тренирует логическое мышление. В логической задаче всегда есть некий «подвох», и ребенок, зная это, концентрирует свое внимание и мотивирован на решение, на нахождение конечного результата. Вот несколько примеров таких задачек:

• Маша и Таня рисовали. Одна девочка рисовала дом, другая дерево. Что рисовала Маша, если Таня не рисовала дом?
• Два мальчика сажали деревья, а один — куст. Что сажал Антон, если Леонид с Антоном и Максим с Антоном сажали разные растения?
• Ира на 5 см ниже Кати. Катя на 8 см выше, чем Лиза. Кто выше всех?

Разумеется, такого рода развивающие занятия должны быть не разовыми, а регулярными. Вы можете доверить развитие математических способностей специалисту, выбрав проверенный образовательный центр, или же заниматься с ребёнком самостоятельно. Так, тренируя логическое мышление, мы сможем подготовить хороший фундамент для успешного усвоения школьной программы и понимания математики ребенком.

Елена Разухина педагог-психолог образовательного центра "Аристотель"

Обсуждение

Сейчас очень много всевозможных пособий, которые помогают педагогам и родителям вызвать интерес у ребенка к логическим размышлениям, систематизации, анализу и математике. Я начала заниматься с обоими детьми примерно в 4 года. Нашла соответствующие тетрадки и занятия по возрасту. Наиболее любимые Петерсон, Сычева, тетради изд. Стрекоза и серия Солнечные ступеньки. Конечно, занятия - это целя система, чем более понятными вы сделаете занятия для вашего ребенка, тем больших результатов вы добьетесь. Мы, например лепили их отвердевающей массы для лепки с детьми цифры и знаки, украшали их, потом с ними "играли". Делали свои "деньги" и потом играли в балы за сделанные задания и хорошие поступки. Заводили себе "магазин" со сладким и игрушками. На эти "деньги" потом дети ходили себе в этом магазине покупали себе всякое. Эффект был с разных сторон: дети учились чего-то системно добиваться, они учились считать, учились делать выбор и т.д. Для детей очень важна визуализация и игровая подача, но с последним не надо переусердствовать, как мне кажется. Потому что играть с ними в школе много никто не будет и, если ваш ребенок привык к тому, что занятие - это только игра, то потом это потом может разочаровать ребенка, когда не будет игры, но надо будет учиться и трудиться. Поэтому всего нужно в меру. Приводите примеры на доступном ребенку языке, например, если ребенок увлекается бакуганами, то считайте бакуганов, если это куклы Мострей хай, то придумывайте задачки из серии было на празднике 8 кукол, потом 3 подружки ушли, сколько осталось и т.д.
Оба моих ребенка помимо того, что знают и обожают теперь математику, делают с легкостью многие олимпиады, теперь еще вошли в рейтинговую систему лучших учеников России. Надеюсь, и у вас все получится! :-)

статья полезная. я со своими малышами регулярно дома занимаюсь. дети когда заинтересуются их не оторвешь потом от занятий. самое главное не заставлять, а то толку не будет.

Спасибо, интересная статья, попробую воспользоваться советами.

А мне наоборот всегда казалось, что именно то, что заложено и может быть развито

Комментировать статью "Развитие математических способностей у дошкольника: 5 способов"

В таком возрасте важен интерес ребенка и общие способности. Уровень задач такой, что способный ребенок их решает без подготовки. Плюс музыкалка, спорт и танцы. Это очень важно и как раз развивает в том числе и математические способности.

Обсуждение

Дома готовим, сами)) началка при этом в дворовой школе

меня вот удивляет стремление припахать ребенка к математике как можно раньше... и вообще идея, что возможна "серьезная математика" с 6-7 лет... Вольному воля конечно, но, по-моему, это какое-то глобальное заблуждение, прежде всего потому что ребенок просто не способен воспринимать и оперировать абстракциями...
конкретно мой ребенок математикой заинтересовалась в 7-ом классе, в восьмом ходила на кружок в МЦНМО, в девятый поступила в 179, а потом на мехмат МГУ. Еще в пятом-шестом классе ничто не предвещало, что она станет математиком, я отлично помню как меня раздражало, что она путается в простых дробях... Школьный учитель с 5-го класса не менялась, так что это не её заслуга, просто мозги у ребенка созрели до другого уровня понимания, и стало интересно.

Развитие математических способностей у дошкольника: 5 способов. На днях я разбирала очередную стопку книг для подготовки к школе, и составила список учебников, которые я рекомендую купить для подготовки к школе ребенка Как развивать ребенка перед школой.

Развитие математических способностей у дошкольника: 5 способов. На днях я разбирала очередную стопку книг для подготовки к школе, и составила список учебников Как развивать ребенка перед школой. А про подготовку к школе можно трактат написать, так всего там много.

Обсуждение

1. Посмотреть, как решает рутинные задачи: видит ли красивые решения сразу или делает в лоб, есть ли вообще желание искать хорошие решения или вообще решения как таковые.
2. Посмотреть, как решает "олимпиадное": каков процент решенного, пути решения, есть ли желание (не в смысле решать олимпиадные задачи часами - это редко у кого бывает, наверное, а в смысле добить начатое, найти решение).
3. Если участвует в олимпиадах - посмотреть, каков результат, если на следующем за школьным этапе что-то может показать без подготовки, есть повод говорить о способностях.
4. Ну и посмотреть, как там с абстрактным мышлением, анализом и синтезом, это же видно в средней школе.
Руководствуясь своими же критериями, я вот пришла к выводу, что у моего младшего ребенка приличных математических способностей нет, но мне образование реально оценить позволяет.

Эхх.. со способностями к математие все непросто, мы на этом слегка погорели..(месяц с чем-то назад был мой душераздирающий пост про 57 школу).

Чтоб я делала:
1. Рассчитывать можно на все, что угодно, но жизнь вносит коррективы.
2. Математика штука по-любому полезная, даже если не станет специальностью. Мозги в порядок приводит, это да.
3. Важнее интерес, чем способности. Потому что дают мотивацию учиться в непростом возрасте. Но рассчитывать только на математику не стала, это не специальность.

С моей точки зрения, "стратегия обучения" может быть 2-х типов.
А. Деточка страстно желает учиться чему-то конкретному (математике, физики, биологии, хоть классической филологии). Возможно, имеет смысл получать фундаментальное образование (то же МГУ и близко к этому). Но. Но. Потом придется доучитваться - или второе образование (за чей счет?) или идти работать фактически не по специальности. Гениев в расчет не берем.
Б. Есть готовность и даже определенный интерес к какой-то специальности - именно чтоб кусок хлеба был, у родителей на шее не сидел, в перспективе и семью кормил. Тогда образование именно исходя из этой специальности - ну и чтоб не совсем противно было этому учиться (но это про учебу в ВУЗЕ). Ну и можно было минимально натаскаться на ЕГЭ (причем иногда это бред - зачем математика медику или психологу??? - медстатистикой единицы занимаются, да и там не так уж много надо выучить).

Мне кажется более разумным вариант "Б", особенно с учетом вашей многодетности. Я, правда, шла по варианту "А" - но тогда все так быстро менялось, что "Б" было реализовать трудно.

Если "Б", то НЕ ТАК ВАЖНО, есть способности к математике или нет. То важно одно - понимать определенные матметоды, чтоб им осмысленно пользоваться. Они для инженера свои, для экономиста свои, для кого-то - третьи.
Вот это и наиболее важно - ПОНИМАЕТ ли ребенок, те основные методы, которые использует?

Например, может ли вывести формулу тех же корней квадратного уравнения сам, не глядя в книжку? Или доказать теорему Пифагора? Вывести сумму арифметической и геометрической прогрессии? Я специально беру нечто относительно простое, можно и чуть посложнее. Но обязательно то, что учил год назад или раньше, так что уже не помнит доказательств.

Если нет, то стоит подумать, насколько используется практически математика в том, чем будет сын заниматься. Менее важно, но тоже чтоит учесть, насколько ее много в ВУЗовской программе.

Ну и про выбор школы. Хорошо, когда математика выше школьной программы, но супер-пупер физматлицей ИМХО не очень хороший вариант. Но это наш личный опыт, у каждого он свой, бывают и хорошие варианты.

Математические способности - это тоже способности, они или есть, или нет. Проявляются обычно очень рано или просто рано, как Если беременность там была нормальная и роды тоже-то есть если ребенок здоров,то развить можно.Нужен нормальный учитель.

Обсуждение

Читала интервью Сергея Рукшина - руководителя питерского мат.кружка из которого вышли пресловутый Перельман и Станислав Смирнов, лауреат премии Филдса.Он пишет, что научить можно абсолютно любого, не зависит ни от пола, ни от способностей. Но подчеркивает, что математика - это образ жизни, она требует полной отдачи.

Есть ли математические гены?. Образование, развитие. Ребенок от 7 до 10. Есть ли математические гены? Вчера разговаривала с папой. По-моему, так ребенок еще слишком мал, чтобы что-то можно было сказать о его способностях.

Обсуждение

сомневаюсь я на счет генов что-то:) у нас два как минимум поколения "математиков", т.е. тех, кто любит и понимает и проблем никогда не доставляла она, а вот сын у нас хрен знает в кого:(как-то мне кажется мне в его возрасте математика намного легче давалась, может, конечно, программа проще была..

Подозреваю, что куда больше влияет атмосфера в семье. И любящие математику родители с детства подбрасывают задачки везде, где только можно. А литературно одаренные - учат красиво говорить. Точно также между делом. А музыканты - петь.

Способности ребенка, мне кажется, на 90% определяются генами, но вот такие качества как усидчивость, характер и настойчивость определяются только воспитанием. Уважаемые родители и психологи, выскажите пожалуйста ваши мнения о том, как развить эти качества у детей?

Обсуждение

Настоящие, осмысленные для ребёнка дела. Вот дочка вчера два часа рисовала иллюстрацию к книге. Рисовать-то она любит, отсюда "осмысленность" - но для дела нужна именно "настойчивость" и далее по списку:-)

Мое мнение прямо противоположно Вашему, только проценты точные не назову. Способности - гораздо больше зависят от того как провел ребенок свое раннее (очень раннее детство), т.е. от окружающей среды. А усидчивость, настойчивость и характер - это больше гены. Это больше определяется особенностями функционирования нервной системы.

На олимпиадах ищут детей именно с развитыми способностями - детей с которыми занимались развитием, необязательно это было ну совсем не согласна про "увянут", никуда математические способности не исчезают... может математиками не становятся (математика...

Обсуждение

Хочу извиниться перед Sephia за то, что своим месседжем увела немного в сторону обсуждение на предложеннную тему.
Просто, все так взаимосвязано (нач.школа -> определенная программа ->уровень преподавания -> одержимость учителя->
заинтересованность ученика - > результат (оценка, желание узнавать сверх программы).
Математика - сложная и очень интересная наука, и поэтому есть о чем поговорить. Темы цепляются одна за другой:-))
" Не могу понять – это проблемы школы (не учат думать?), программы (слабая?), ребенка (не способен?), или мои (неправильно занимаюсь?) Или я многого хочу?"
Sephia не написала, по какой программе занимается дочь, но эта программа может одновременно быть достаточной для других более "слабых" одноклассников, и являться определенным тормозом для ее "продвинутой" девочки. А то, что некоторые учителя умение думать подменяют умением мыслить шаблонами и заучиванием, - это, к сожалению, имеет место быть:-(
Эту конфу читают (некоторые пишут) очень интересные люди. Раз они это делают, значит ВСЕ определенно озадачены хорошим
воспитанием своих детей и желанием дать качественное образование. Иначе сюда бы не заглядывали.
Так давайте попробуем помочь своим детям и самим себе. Кто чем сможет.
Кто задачи интересные приведет, кто нестандартным решением проблемы поделится. Кто как может. Авось, и справимся с проблемами нашего образования.

Тоже хотела на "математическую" тему написать, да все времени не хватает. Моя дочка учится во 2 классе. По математике твердая пятерка,
других оценок просто нет. Занимаются по Морро и по Узоровой (30000 задач для устого счета). Но мне кажется, что этого не достаточно.
Из 28 человек только три отличника. В 1 классе в начале года учительница предложила родителям дополнительно к основному курса проходить курс по Гейдману. Сразу нашлись мамы, которые были категорически против, мотивируя это большой загруженностью
детей по англ. языку (спец. школа). На том и остановились. Я и еще две мамы самостоятельно купили учебник и занимались сами.
В начале 3 четверти дочке сказали, что в выходные она и ее одноклассник пойдут на окружную олимпиаду по математике.
Приходит она домой в пятницу (накануне олимпиады) и рассказывает, что на уроке они делали работу, по результатам которой выберут детей на сдедующую олимпиаду. Говорит, что одну задачу не решил никто в классе. Вот ее условие:
На двух кустах сидело 15 птичек. Когда с 1-го на второй перелетело 2 птиц, а со второго улетело 3 птицы, на втором кусте стало на 4
птиц больше, чем на первом.
Сколько птиц было на каждом кусте вначале?
Сразу оговорюсь, что умножение и деление они еще не проходили. На летние каникулы после 1 класса им задавали начать
учить таблицу умножения.
Я удивилась этой задаче, т.к. на мой взгляд она не соответствовала программе, по которой они занимались.
Но дочке было интересна, как решается эта задача. Я рассказала ей как ее решить сначала одним способом (15-3=12, 12:2=6, 12 -4= 8,
8:2=4, 4+2=6, 15-6=9), а потом рассказала как можно обозначать неизвестное через Х. Решили эту задачу, а потом придумали
еще парочку подобных. Позанимались час. Дочка все поняла и ей понравилось.
На следующий день выходит она после олимпиады довольная и говорит, что одна задачка была подобной, и она ее сразу черех икс
решила.
Так вот у меня возник вопрос: разве можно таким образом выявить на олимпиаде выявить одаренных детей?
ИМХО, нет. Этот пример говорит о том, что определенные программы просто отстают. Не расскажи я дочке накануне о способе решения -
и она бы не смогла. Кстате, она тогда заняла 3 место.
Жалко, что не могу я до сих пор получить условия всех задач с олимпиады. Очень мне интересно на остальные посмотреть.

Ребенок от 3 до 7. Воспитание, питание, режим дня, посещение детского сада и взаимоотношения с воспитателями, болезни и Хотелось бы не упустить, если что... И поделитесь пожалуйста, у кого какие успехи (вообще, а не только математические) в 3 года...

Обсуждение

Девочки Оля, Ирина, Мурзя, Газель, извините, но Вы не совсем правы, говоря, "считает до 10, 20" и т.д. Ребенок не считает, а называет числительные от 1 до 10, 20 и т.д. Ирина правильно сказала, что такой "счет" механический, а не осмысленный.
Существует некое кол-во - 5 пальцев, существуют числительные "один", "два".. А еще существуют символы - цифры 1 2 3 4 5... Когда ребенок освоит все три понятия и соединит их в нечто целое, например, назвать "три", показать 3 предмета или представить 3 предмета в уме, а затем еще и матем. действие выполнит, тогда, по-моему можно говорить о том, что ребенок считает.
Оля Ваш сын - молодец, т.к. действительно считает ("у тебя есть яблоко, тебе дали еще"), да к тому же он перешел от конкретного - счет предметов, к абстрактному - представляет некое кол-во и складывает в уме.

P.S. Моему сыну ровно 4. Он рано начал говорить и в 2 года "считал" до 15. На день рождения (2 года) ему подарили игрушку - домик, крыша поделена на 6 секторов с отверстием в виде какого-либо животного, в стенах домика 6 дверок разных цветов с отверстиями в виде контуров геом. предметов + вкладыши-зверюшки, вкладыши-геом. тела. Саша сходу запомнил новые цвета - розовый, оранжевый.
После того как я пару раза назвала каждое геом. тело и отверстие, двухлетний Саша запомнил квадрат, куб, круг, шар, призму, треугольник, овал. Я поняла, что ребенок впитывает как губка все, что видит, ощупывает. Просто знания эти должны в голове систематизироваться. Так же и со счетом.

Насте 2 и 9. Считает до 20, дальше пока не получается (спрашивает как называется 30, 40 и т.д., т.е. спросит как называется 30, а потом считает 31, 32...). В уме складывает-вычитает только до 5, если больше, то на пальцах (если плюс - то сосчитать все вместе пальцы, яблоки и т.д., а если минус - значит часть нужно закрыть:-))). Ей арифметика очень нравится, но мне кажется это больше дрессировка, чем проявление математических способностей...
Геометрические фиругы (и плоские, и объемные) знает очень давно, но опять-таки больше из-за того, что много играли и в рамки Монтессори, и Никитинские крадраты, строили из разных объемных фигур.

Чтобы объяснить, откуда в человеке развилась способность к математическим операциям, специалисты предлагали две гипотезы . Одна из них заключалась в том, что склонность к математике является побочным эффектом появления языка и речи. Другая предполагала, что причиной явилась возможность использовать интуитивное понимание пространства и времени, которое имеет куда более древнее эволюционное происхождение.

Для того чтобы ответить на вопрос, какая из гипотез верна, психологи поставили эксперимент с участием 15 профессиональных математиков и 15 обычных людей с равным уровнем образования. Каждой группе представляли сложные математические и нематематические утверждения, которые нужно было оценить как истинные, ложные или бессмысленные. По ходу эксперимента мозг участников сканировали с помощью функциональной томографии.

Результаты исследования показали, что заявления, которые касались математического анализа, алгебры, геометрии и топологии, активировали участки в теменной, нижневисочной и префронтальной коре головного мозга у математиков, но не у контрольной группы. Эти зоны отличались от тех, что возбуждались у всех участников эксперимента при обычных утверждениях. «Математические» участки активировались у обычных людей только в том случае, если испытуемым предлагали проделать простые арифметические действия.

Ученые объясняют полученный результат тем, что математическое мышление высокого уровня задействует нейронную сеть, которая отвечает за восприятие чисел, пространства и времени и отличается от сети, связанной с языком . По словам экспертов, на основе исследования можно предсказать, разовьются ли у ребенка математические способности, если оценить его навыки пространственного мышления.

Таким образом, чтобы стать математиком нужно развивать пространственное мышление.

Что представляет из себя пространственное мышление

Для решения огромного количества задач из тех, что ставит перед нами наша цивилизация, необходим особый вид мыслительной деятельности - пространственное мышление. Термин пространственное воображение, обозначает человеческую способность четко представлять трехмерные объекты в деталях и цветовом исполнении.

При помощи пространственного мышления можно проводить манипуляции с пространственными структурами - настоящими или воображаемыми, анализировать пространственные свойства и отношения, трансформировать исходные структуры и создавать новые. В психологии восприятия давно уже известно, что изначально зачатками пространственного мышления обладает всего несколько процентов населения.

Пространственное мышление - это специфический вид мыслительной деятельности, которая имеет место в решении задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространстве (как видимом, так и воображённом). В своих наиболее развитых формах это мышление образцами, в которых фиксируются пространственные свойства и отношения.

Как развить пространственное мышление

Упражнения на развитие пространственного мышления очень полезны в любом возрасте. Поначалу многие люди испытывают затруднения при их выполнении, но со временем обретают способность решать все более сложные задачи. Такие упражнения обеспечивают нормальное функционирование головного мозга, позволяют избежать многих заболеваний, вызванных недостаточным уровнем работы нейронов коры полушарий.

Дети с развитым пространственным мышлением часто преуспевают не только в геометрии, черчении, химии и физике, но и в литературе! Пространственное мышление позволяет создавать в голове целые динамические картины, своего рода кинофильм, основанные на прочитанном отрывке текста. Такая способность существенно облегчает анализирование художественной литературы и позволяет сделать процесс чтения намного более интересным. И, конечно же, пространственное мышление незаменимо на уроках рисования и труда.

С развитым пространственным мышлением становится гораздо легче читать чертежи и карты, определять местонахождение и представлять схему движения к цели. Это просто необходимо любителям спортивного ориентирования, а всем остальным существенно поможет в обычной жизни в условиях города.

Пространственное мышление развивается с раннего детства, когда ребенок начинает совершать свои первые движения. Его формирование проходит несколько этапов и заканчивается, примерно, в подростковом возрасте. Однако в течение жизни возможно его доразвитие и преобразование. Проверить уровень развития пространственного мышления можно с помощью небольшого интерактивного теста .

Выделяют три типа такого оперирования:

1. Изменение пространственного положения образа. Человек мысленно может передвинуть объект без каких-либо изменений его внешнего вида. Например, передвижения согласно карте, мысленное переставление объектов в комнате, перечерчивание и т.д.
2. Изменение структуры образа . Человек может мысленно каким-либо образом изменить объект, но при этом он остается неподвижным. Например, мысленное добавление одной фигуры к другой и их объединение, представление того, как будет выглядеть объект, если добавить к нему деталь, и пр.
3. Одновременное изменение и положения, и структуры образа . Человек способен одновременно представить изменения во внешнем облике и пространственном положении предмета. Например, мысленное вращение объемной фигуры с разными сторонами, представление о том, как будет выглядеть такая фигура с той или другой стороны, и др.

Третий тип является наиболее совершенным и предоставляет больше возможностей. Однако для его достижения необходимо сначала хорошо освоить первые два типа оперирования. Представленные ниже упражнения и советы будут направлены на развитие в целом пространственного мышления и всех трех типов действий.

3D пазлы и оригами

Складывание объемных пазлов и фигурок из бумаги позволяет формировать в голове образы различных объектов. Ведь перед началом работы следует представить готовую фигуру, чтобы определить качество и порядок действий. Складывание может проходить в несколько этапов:

• Повторение действий за кем-то
• Работа в соответствии с инструкцией
• Складывание фигуры с частичной опорой на инструкцию
• Самостоятельная работа без опоры на материал (может осуществляться не сразу, а после нескольких повторений предыдущих этапов)

Важно, чтобы школьник четко прослеживал каждое действие и запоминал его. Вместо пазлов можно также использовать обычный конструктор.

Делятся на два типа:

1. С использованием наглядного материала. Для этого необходимо иметь несколько заготовок различных объемных геометрических фигур: конус, цилиндр, куб, пирамида и др. Задача: изучить фигуры; узнать, как они выглядят с различных ракурсов; накладывать фигуры друг на друга и смотреть, что получается и т.д.
2. Без использования наглядного материала . Если школьник хорошо знаком с различными объемными геометрическими фигурами и хорошо представляет, как они выглядят, то задания переносятся в мысленный план. Задача: описать, как выглядит та или иная фигура; назвать каждую ее сторону; представить, что будет при наложении одной фигуры на другую; сказать, какое действие нужно осуществить с фигурой, чтобы превратить ее в другую (например, как превратить параллелепипед в куб) и пр.

Перечерчивание (копирование)

Задания этого типа идут по нарастанию сложности:

1. Простое перечерчивание фигуры. Перед учеником стоит макет/образец фигуры, который ему необходимо перенести на бумагу без изменений (размеры и внешний вид должны совпадать). Перечерчивается отдельно каждая сторона фигуры.
2. Копирование с добавлением. Задача: перечертить фигуру без изменений и добавить к ней: 5 см в длину, дополнительную грань, другую фигуру и т.п.
3. Масштабируемое перечерчивание. Задача: скопировать фигуру с изменением ее размера, т.е. начертить в 2 раза больше чем макет, в 5 раз меньше чем образец, убавив на 3 см каждую сторону и т.д.
4. Копирование из представления. Задача: представить объемную фигуру и нарисовать ее с разных сторон.

Представления

В качестве объектов представления будут выступать отрезки и линии. Задачи могут быть самыми разнообразными, например:

• Представь три разнонаправленных отрезка, мысленно соедини их и нарисуй, получившуюся фигуру.
• Представь, что на два отрезка наложили треугольник. Что получилось?
• Представь две сближающиеся линии. В каком месте они пересекутся?

Составление чертежей и схем

Могут осуществляться с опорой на наглядный материал или с опорой на представляемые объекты. Составлять чертежи, схемы и планы можно по любому предмету. Например, план комнаты с отображением расположения каждой вещи в ней, схематическое изображение цветка, чертеж здания и пр.

Игра «Угадай на ощупь»

Ребенок закрывает в глаза и получает какой-то предмет, который может ощупать. Объект должен иметь такие размеры, чтобы школьник имел возможность изучить его целиком. На это отводится определенное количество времени в зависимости от возраста ученика и объема предмета (15-90 секунд). По истечении этого времени ребенок должен сказать, что именно это было и почему он так решил.

Также в игре можно использовать разные виды ткани, схожие по форме фрукты (яблоки, нектарины, апельсины, персики), нестандартные геометрические фигуры и другое.

Игра «Муха в клетке»

Для этой игры потребуется не менее трех человек. Два непосредственно участвуют в игре, а третий отслеживает ее ход и проверяет конечный ответ.

Правила: два участника представляют решетку 9 на 9 квадратов (пользоваться графическим изображением нельзя!). В правом верхнем углу находится муха. По очереди делая ходы, игроки перемещают муху по квадратам. Можно использовать обозначения движения (вправо, влево, вверх, вниз) и число клеток. Например, муха передвигается на три клетки вверх. Третий участник имеет графическую схему решетки и обозначает каждый ход (каждое перемещение мухи). Далее он говорит «Стоп» и другие игроки должны сказать, где, по их мнению, находится муха в данный момент. Выигрывает тот, кто правильно назвал квадрат, где остановилась муха (проверяется по схеме, которую составил третий участник).

Игру можно усложнить, добавив количество клеток в решетку или такой параметр, как глубину (сделав решетку трехмерной).

Графические задания-тренажеры

Выполняются на глаз без использования каких-либо вспомогательных предметов (линейки, ручки, циркуля и т.д.).

1. На какую отметку должен переместиться человек, чтобы падающее дерево не задело его?

2. Какая (какие) из фигур сможет (смогут) пройти между объектом А и объектом Б?

Картинка из книги Посталовского И.З. «Тренировка образного мышления»

3. Представь, что овалы на картинке - это машины. Какая из них раньше окажется на перекрестке, если скорость передвижения машин равна?

Картинка из книги Посталовского И.З. «Тренировка образного мышления»

4. Восстанови часть фигуры, которую закрыла линейка.

Картинка из книги Посталовского И.З. «Тренировка образного мышления»

5. Определи, куда упадет шар.

Картинка из книги Посталовского И.З. «Тренировка образного мышления»

Краткое содержание: Развитие математических способностей у детей. Более двадцати упражнений для развития логико - математического мышления у ребенка. Тренировка умений сравнивать, классифицировать, анализировать и обобщать результаты своей деятельности.

И родители, и педагоги знают, что математика - это мощный фактор интеллектуального развития ребенка, формирования его познавательных и творческих способностей. Известно и то, что от эффективности математического развития ребенка в дошкольном возрасте зависит успешность обучения математике в начальной школе.

Почему же многим детям так трудно дается математика не только в начальной школе, но уже сейчас, в период подготовки к учебной деятельности? Попробуем ответить на этот вопрос и показать, почему общепринятые подходы к математической подготовке ребенка-дошкольника часто не приносят желаемых положительных результатов.

В современных обучающих программах начальной школы важное значение придается логической составляющей. Развитие логического мышления ребенка подразумевает формирование логических приемов мыслительной деятельности, а также умения понимать и прослеживать причинно-следственные связи явлений и умения выстраивать простейшие умозаключения на основе причинно-следственной связи. Чтобы школьник не испытывал трудности буквально с первых уроков и ему не пришлось учиться с нуля, уже сейчас, в дошкольный период, нужно готовить ребенка соответствующим образом.

Многие родители полагают, что главное при подготовке к школе - это познакомить ребенка с цифрами и научить его писать, считать, складывать и вычитать (на деле это обычно выливается в попытку выучить наизусть результаты сложения и вычитания в пределах 10). Однако при обучении математике по учебникам современных развивающих систем (система Л. В. Занкова, система В. В. Давыдова, система "Гармония", "Школа 2100" и др.) эти умения очень недолго выручают ребенка на уроках математики. Запас заученных знаний кончается очень быстро (через месяц-два), и несформированность собственного умения продуктивно мыслить (то есть самостоятельно выполнять указанные выше мыслительные действия на математическом содержании) очень быстро приводит к появлению "проблем с математикой".

В то же время ребенок с развитым логическим мышлением всегда имеет больше шансов быть успешным в математике, даже если он не был заранее научен элементам школьной программы (счету, вычислениям и т. п.). Не случайно в последние годы во многих школах, работающих по развивающим программам, проводится собеседование с детьми, поступающими в первый класс, основным содержанием которого являются вопросы и задания логического, а не только арифметического, характера. Закономерен ли такой подход к отбору детей для обучения? Да, закономерен, поскольку учебники математики этих систем построены таким образом, что уже на первых уроках ребенок должен использовать умения сравнивать, классифицировать, анализировать и обобщать результаты своей деятельности.

Однако не следует думать, что развитое логическое мышление - это природный дар, с наличием или отсутствием которого следует смириться. Существует большое количество исследований, подтверждающих, что развитием логического мышления можно и нужно заниматься (даже в тех случаях, когда природные задатки ребенка в этой области весьма скромны). Прежде всего разберемся в том, из чего складывается логическое мышление.

Логические приемы умственных действий - сравнение, обобщение, анализ, синтез, классификация, сериация, аналогия, систематизация, абстрагирование - в литературе также называют логическими приемами мышления. При организации специальной развивающей работы над формированием и развитием логических приемов мышления наблюдается значительное повышение результативности этого процесса независимо от исходного уровня развития ребенка.

Развивать логическое мышление дошкольника целесообразнее всего в русле математического развития. Еще более повышает процесс усвоения ребенком знаний в этой области использование заданий, активно развивающих мелкую моторику, то есть заданий логико-конструктивного характера. Кроме того, существуют различные приемы умственных действий, которые помогают усилить эффективность использования логико-конструктивных заданий.

Сериация - построение упорядоченных возрастающих или убывающих рядов по выбранному признаку. Классический пример сериации: матрешки, пирамидки, вкладные мисочки и т. д.

Сериации можно организовать по размеру, по длине, по высоте, по ширине, если предметы одного типа (куклы, палочки, ленты, камешки и т. д.), и просто по величине (с указанием того, что считать величиной), если предметы разного типа (рассадить игрушки по росту). Сериации могут быть организованы по цвету, например по степени интенсивности окраски (расставить баночки с окрашенной водой по степени интенсивности цвета раствора).

Анализ - выделение свойств объекта, или выделение объекта из группы, или выделение группы объектов по определенному признаку.

Например, задан признак: "Найти все кислые". Сначала у каждого объекта множества проверяется наличие или отсутствие этого признака, а затем они выделяются и объединяются в группу по признаку "кислые".

Синтез - соединение различных элементов (признаков, свойств) в единое целое. В психологии анализ и синтез рассматриваются как взаимодополняющие друг друга процессы (анализ осуществляется через синтез, а синтез - через анализ).

Задания на формирование умения выделить элементы того или иного объекта (признаки), а также на соединение их в единое целое можно предлагать с первых же шагов математического развития ребенка. Приведем, например, несколько таких заданий для детей двух - четырех лет.

1. Задание на выбор предмета из группы по любому признаку: "Возьми красный мячик"; "Возьми красный, но не мячик"; "Возьми мячик, но не красный".

2. Задание на выбор нескольких предметов по указанному признаку: "Выбери все мячики"; "Выбери круглые, но не мячики".

3. Задание на выбор одного или нескольких предметов по нескольким указанным признакам: "Выбери маленький синий мячик"; "Выбери большой красный мячик". Задание последнего вида предполагает соединение двух признаков предмета в единое целое.

Аналитико-синтетическая мыслительная деятельность позволяет ребенку рассматривать один и тот же объект с различных точек зрения: как большой или маленький, красный или желтый, круглый или квадратный и т. д. Однако речь не идет о введении большого количества объектов, как раз наоборот, способом организации всестороннего рассмотрения является прием постановки различных заданий к одному и тому же математическому объекту.

В качестве примера организации занятий, развивающих способности ребенка к анализу и синтезу, приведем несколько упражнений для детей пяти-шести лет.

Упражнение 1

Материал: набор фигур - пять кругов (синие: большой и два маленьких, зеленые: большой и маленький), маленький красный квадрат.

Задание: "Определи, какая из фигур в этом наборе лишняя. (Квадрат.) Объясни почему. (Все остальные - круги.)".

Упражнение 2

Материал: тот же, что к упражнению 1, но без квадрата.
Задание: "Оставшиеся круги раздели на две группы. Объясни, почему так разделил. (По цвету, по размеру.)".

Упражнение 3

Материал: тот же и карточки с цифрами 2 и 3.
Задание: "Что на кругах означает число 2? (Два больших круга, два зеленых круга.) Число 3? (Три синих круга, три маленьких круга.)".

Упражнение 4

Материал: тот же и дидактический набор (набор пластиковых фигурок: цветные квадраты, круги и треугольники).
Задание: "Вспомни, какого цвета был квадрат, который мы убрали? (Красного.) Открой коробочку,Дидактический набор". Найди красный квадрат. Какого цвета еще есть квадраты? Возьми столько квадратов, сколько кругов (см. упражнения 2, 3). Сколько квадратов? (Пять.) Можно сложить из них один большой квадрат? (Нет.) Добавь столько квадратов, сколько нужно. Сколько ты добавил квадратов? (Четыре.) Сколько их теперь? (Девять.)".

Традиционной формой заданий на развитие визуального анализа являются задания на выбор "лишней" фигуры (предмета). Приведем несколько заданий для детей пяти-шести лет.

Упражнение 5

Материал: рисунок фигурок-рожиц.

Задание: "Одна из фигурок отличается от всех других. Какая? (Четвертая.) Чем она отличается?"

Упражнение 6

Материал: рисунок фигурок-человечков.

Задание: "Среди этих фигурок есть лишняя. Найди ее. (Пятая фигурка.) Почему она лишняя?"

Более сложной формой такого задания является задание на выделение фигуры из композиции, образованной наложением одних форм на другие. Такие задания можно предлагать детям пяти - семи лет.

Упражнение 7

Материал: рисунок двух маленьких треугольников, образующих один большой.

Задание: "На этом рисунке спрятано три треугольника. Найди и покажи их".

Примечание. Нужно помочь ребенку правильно показать треугольники (обвести маленькой указкой или пальцем).

В качестве подготовительных полезно использовать задания, требующие от ребенка синтеза композиций из геометрических фигур на вещественном уровне (из вещественного материала).

Упражнение 8

Материал: 4 одинаковых треугольника.

Задание: "Возьми два треугольника и сложи из них один. Теперь возьми два других треугольника и сложи из них еще один треугольник, но другой формы. Чем они отличаются? (Один высокий, другой - низкий; один узкий, другой - широкий.) Можно ли сложить из этих двух треугольников прямоугольник? (Да.) Квадрат? (Нет.)".

Психологически способность к синтезу формируется у ребенка раньше, чем способность к анализу. То есть, если ребенок знает, как это было собрано (сложено, сконструировано), ему легче анализировать и выделять составные части. Именно поэтому столь серьезное значение уделяется в дошкольном возрасте деятельности, активно формирующей синтез, - конструированию.

Сначала это деятельность по образцу, то есть выполнение заданий по типу "делай как я". На первых порах ребенок учится воспроизводить объект, повторяя за взрослым весь процесс конструирования; затем - повторяя процесс построения по памяти, и, наконец, переходит к третьему этапу: самостоятельно восстанавливает способ построения уже готового объекта (задания вида "сделай такой же"). Четвертый этап заданий такого рода - творческий: "построй высокий дом", "построй гараж для этой машины", "сложи петуха". Задания даются без образца, ребенок работает по представлению, но должен придерживаться заданных параметров: гараж именно для этой машины.

Для конструирования используются любые мозаики, конструкторы, кубики, разрезные картинки, подходящие этому возрасту и вызывающие у ребенка желание возиться с ними. Взрослый играет роль ненавязчивого помощника, его цель - способствовать доведению работы до конца, то есть до получения задуманного или требуемого целого объекта.

Сравнение - логический прием умственных действий, требующий выявления сходства и различия между признаками объекта (предмета, явления, группы предметов).

Выполнение сравнения требует умения выделять одни признаки объекта (или группы объектов) и абстрагироваться от других. Для выделения различных признаков объекта можно использовать игру "Найди это по указанным признакам": "Что (из этих предметов) большое желтое? (Мяч и медведь.) Что большое желтое круглое? (Мяч.)" и т. д.

Ребенок должен использовать роль ведущего так же часто, как и отвечающего, это подготовит его к следующему этапу - умению отвечать на вопрос: "Что ты можешь рассказать о нем? (Арбуз большой, круглый, зеленый. Солнце круглое, желтое, горячее.)". Или: "Кто больше расскажет об этом? (Лента длинная, синяя, блестящая, шелковая.)". Или: "Что это: белое, холодное, рассыпчатое?" и т. д.

Типы заданий на сравнение:

1. Задания на разделение группы объектов по какому-то признаку (большие и маленькие, красные и синие и т. п.).

2. Все игры вида "Найди такой же". Для ребенка двух - четырех лет набор признаков, по которым ищется сходство, должен быть четко обозначен. Для более старших детей предлагаются упражнения, в которых количество и характер признаков сходства может широко варьироваться.

Приведем примеры заданий для детей пяти-шести лет, в которых от ребенка требуется сравнение одних и тех же предметов по различным признакам.

Упражнение 9

Материал: изображения двух яблок маленькое желтое и большое красное. У ребенка набор фигур: треугольник синий, квадрат красный, круг маленький зеленый, круг большой желтый, треугольник красный, квадрат желтый.

Задание: "Найди среди своих фигур похожую на яблоко". Взрослый по очереди предлагает рассмотреть каждое изображение яблока. Ребенок подбирает похожую фигуру, выбирая основание для сравнения: цвет, форма. "Какую фигурку можно назвать похожей на оба яблока? (Круги. Они похожи на яблоки формой.)".

Упражнение 10

Материал: тот же и набор карточек с цифрами от 1 до 9.
Задание: "Отложи направо все желтые фигуры. Какое число подходит к этой группе? Почему 2? (Две фигуры.) Какую другую группу можно подобрать к этому числу? (Треугольник синий и красный - их два; две красные фигуры, два круга; два квадрата - разбираются все варианты.)". Ребенок составляет группы, с помощью рамки-трафарета зарисовывает и закрашивает их, затем подписывает под каждой группой цифру 2. "Возьми все синие фигуры. Сколько их? (Одна.) Сколько здесь всего цветов? (Четыре.) Фигур? (Шесть.)".

Умение выделять признаки объекта и, ориентируясь на них, сравнивать предметы является универсальным, применимым к любому классу объектов. Однажды сформированное и хорошо развитое, это умение затем будет переноситься ребенком на любые ситуации, требующие его применения.

Показателем сформированности приема сравнения будет умение ребенка самостоятельно применять его в деятельности без специальных указаний взрослого на признаки, по которым нужно сравнивать объекты.

Классификация - разделение множества на группы по какому-либо признаку, который называют основанием классификации. Классификацию можно проводить либо по заданному основанию, либо с заданием поиска самого основания (этот вариант чаще используется с детьми шести-семи лет, так как требует определенного уровня сформированности операций анализа, сравнения и обобщения).

Следует учитывать, что при классификационном разделении множества полученные подмножества не должны попарно пересекаться и объединение всех подмножеств должно составлять данное множество. Иными словами, каждый объект должен входить только в одно множество и при правильно определенном основании для классификации ни один предмет не останется вне определенных данным основанием групп.

Классификацию с детьми дошкольного возраста можно проводить:

По названию (чашки и тарелки, ракушки и камешки, кегли и мячики и т. д.);
- по размеру (в одну группу большие мячи, в другую - маленькие, в одну коробку длинные карандаши, в другую - короткие и т. д.);
- по цвету (в эту коробку красные пуговицы, в эту - зеленые);
- по форме (в эту коробку квадраты, а в эту - кружки; в эту коробку - кубики, в эту - кирпичики и т. д.);
- по другим признакам нематематического характера: что можно и что нельзя есть; кто летает, кто бегает, кто плавает; кто живет в доме и кто в лесу; что бывает летом и что зимой; что растет в огороде и что в лесу и т. д.

Все перечисленные выше примеры - это классификации по заданному основанию: взрослый сообщает его ребенку, а ребенок выполняет разделение. В другом случае классификация выполняется по основанию, определенному ребенком самостоятельно Здесь взрослый задает количество групп, на которые следует разделить множество предметов (объектов), а ребенок самостоятельно ищет соответствующее основание. При этом такое основание может быть определено не единственным образом.

Например, задания для детей пяти - семи лет.

Упражнение 11

Материал: несколько кругов одинакового размера, но разного цвета (два цвета).
Задание: "Раздели круги на две группы. По какому признаку это можно сделать? (По цвету.)".

Упражнение 12

Материал: к предыдущему набору добавляются несколько квадратов тех же цветов (два цвета). Фигуры перемешиваются.
Задание: "Попробуй снова разделить фигуры на две группы". Возможны два варианта разделения: по форме и по цвету. Взрослый помогает ребенку уточнить формулировки. Ребенок говорит обычно: "Эти - круги, эти - квадраты". Взрослый обобщает: "Значит, разделили по форме".

В упражнении 11 классификация была однозначно задана соответствующим набором фигур только по одному признаку, а в упражнении 12 - дополнение набора фигур намеренно было произведено таким образом, чтобы стала возможной классификация по двум разным основаниям.

Обобщение - это оформление в словесной (вербальной) форме результатов процесса сравнения.

Обобщение формируется в дошкольном возрасте как выделение и фиксация общего признака двух или более объектов. Обобщение хорошо понимается ребенком, если является результатом деятельности, произведенной им самостоятельно, например классификации: эти все - большие, эти все - маленькие; эти все - красные, эти все - синие; эти все - летают, эти все - бегают и др.

Все приведенные выше примеры сравнений и классификаций завершались обобщениями. Для дошкольников возможны эмпирические виды обобщения, то есть обобщения результатов своей деятельности. Для подведения детей к такого рода обобщениям взрослый соответствующим образом организует работу над заданием: подбирает объекты деятельности, задает вопросы в специально разработанной последовательности, чтобы подвести ребенка к нужному обобщению. При формулировке обобщения следует помогать ребенку правильно его построить, употребить нужные термины и словесные обороты.

Приведем примеры заданий на обобщение для детей пяти - семи лет.

Упражнение 14

Материал: набор из шести фигур разной формы.

Задание: "Одна из этих фигур лишняя. Найди ее. (Фигура 4.)". Детям этого возраста незнакомо понятие выпуклости, но они обычно всегда указывают на эту фигуру. Объяснять они могут так: "У нее угол ушел внутрь". Такое объяснение вполне подходит. "Чем похожи все остальные фигуры? (У них 4 угла, это четырехугольники.)".

При подборе материала для задания взрослый должен следить за тем, чтобы не получился набор, ориентирующий ребенка на несущественные признаки объектов, что будет подталкивать к неверным обобщениям. Следует помнить, что при эмпирических обобщениях ребенок опирается на внешние видимые признаки объектов, что не всегда помогает правильно раскрыть их сущность и определить понятие.

Например, в упражнении 14 фигура 4, в общем, тоже является четырехугольником, но невыпуклым. С фигурами такого рода ребенок познакомится только в девятом классе средней школы, где в учебнике геометрии формулируется определение понятия "выпуклая плоская фигура". В данном случае первая часть задания была ориентирована на операцию сравнения и выделения фигуры, отличающейся по внешней форме от других фигур данной группы. Но обобщение сделано по группе фигур с характерными признаками, часто встречающихся четырехугольников. Если у ребенка возникает интерес к фигуре 4, взрослый может отметить, что это тоже четырехугольник, но необычной формы. Формирование у детей способности самостоятельно делать обобщения является крайне важным с общеразвивающей точки зрения.

Далее приведем пример нескольких взаимосвязанных упражнений (заданий) логико-конструктивного характера по формированию представления о треугольнике для детей пяти лет. Для моделирующей конструктивной деятельности ребенок используют счетные палочки, рамку-трафарет с прорезями в форме геометрических фигур, бумагу, цветные карандаши. Взрослый также использует палочки и фигуры.

Упражнение 15

Цель упражнения - подготовить ребенка к последующей моделирующей деятельности посредством простых конструктивных действий, актуализировать счетные умения, организовать внимание.

Задание: "Возьми из коробки столько палочек, сколько у меня (две). Положи перед собой так же (вертикально рядом). Сколько палочек? (Две.) Какого цвета у тебя палочки (палочки в коробке двух цветов: красные и зеленые)? Сделай так, чтобы они были разного цвета. Какого цвета у тебя палочки? (Одна - красная, одна - зеленая.) Один да один. Сколько вместе? (Две.)".

Упражнение 16

Цель упражнения - организация конструктивной деятельности по образцу. Упражнения в счете, развитие воображения, речевой деятельности.

Материал: счетные палочки двух цветов.
Задание: "Возьми еще одну палочку и положи ее сверху. Сколько стало палочек? Сосчитаем. (Три.) На что похожа фигура? (На ворота, на букву "П".) Какие слова начинаются на "П"?"

Упражнение 17

Цель упражнения - развитие наблюдательности, воображения и речевой деятельности. Формирование умения оценивать количественную характеристику видоизменяющейся конструкции (без изменения количества элементов).

Материал: счетные палочки двух цветов.
Примечание: первое задание упражнения является также подготовительным к правильному восприятию смысла арифметических действий. Задание: "Верхнюю палочку переложи так (взрослый сдвигает палочку вниз, чтобы она оказалась посередине вертикально лежащих палочек). Изменилось ли количество палочек? Почему не изменилось? (Палочку переставили, но не убрали и не добавили.) На что теперь похожа фигура? (На букву "Н".) Назови слова, начинающиеся на "Н"".

Упражнение 18

Цель упражнения - формирование конструкторских умений, воображения, памяти и внимания.

Материал: счетные палочки двух цветов.
Задание: "Что еще можно сложить из трех палочек? (Ребенок складывает фигурки и буквы. Называет их, придумывает слова.)".

Упражнение 19

Цель упражнения - формирование образа треугольника, первичное обследование модели треугольника.

Материал: счетные палочки двух цветов, нарисованный взрослым треугольник.

Задание: "Сложи из палочек фигуру". Если ребенок сам не сложил треугольник, взрослый помогает ему. "Сколько палочек понадобилось для этой фигуры? (Три.) Что это за фигура? (Треугольник.) Почему он так называется? (Три угла.)". Если ребенок не может назвать фигуру, взрослый подсказывает ее название и просит ребенка объяснить, как он его понимает. Далее взрослый просит обвести фигуру пальцем, сосчитать углы (вершины), касаясь их пальцем.

Упражнение 20

Цель упражнения - закрепление образа треугольника на кинестетическом (тактильные ощущения) и визуальном уровне. Распознавание треугольников среди других фигур (объем и устойчивость восприятия). Обводка и штриховка треугольников (развитие мелких мышц руки).

Примечание: задание является проблемным, поскольку на используемой рамке есть несколько треугольников и фигур, похожих на них острыми углами (ромб, трапеция).

Материал: рамка-трафарет с фигурами разной формы.
Задание: "Найди на рамке треугольник. Обведи его. Закрась треугольник по рамке". Штриховка производится внутри рамки, кисть движется свободно, карандаш "стучит" по рамке.

Упражнение 21

Цель упражнения - закрепление визуального образа треугольника. Распознавание нужных треугольников среди других треугольников (точность восприятия). Развитие воображения и внимания. Развитие мелкой моторики.

Задание: "Посмотри на этот рисунок: вот кошка-мама, кот-папа и котенок. Из каких фигур они составлены? (Круги и треугольники.) Какой треугольник нужен для котенка? Для кошки-мамы? Для кота-папы? Нарисуй своего кота". Затем ребенок дорисовывает остальных кошек, ориентируясь на образец, но самостоятельно. Взрослый обращает внимание на то, что кот-папа самый высокий. "Правильно поставь рамку, чтобы кот-папа получился самый высокий".

Примечание: данное упражнение не только способствует накоплению у ребенка запасов образов геометрических фигур, но и развивает пространственное мышление, поскольку фигуры на рамке-трафарете расположены в различных положениях, и чтобы найти нужную, необходимо узнать ее в другой позиции, а затем повернуть рамку для ее рисования в такой позиции, которую требует рисунок.

Очевидно, что конструктивная деятельность ребенка в процессе выполнения данных упражнений развивает не только математические способности и логическое мышление ребенка, но и его внимание, воображение, тренирует моторику, глазомер, пространственные представления, точность и т. д.

Каждое из приведенных упражнений направлено на формирование логических мыслительных приемов. Например, упражнение 15 учит ребенка сравнивать; упражнение 16 - сравнивать и обобщать, а также анализировать; упражнение 17 учит анализу и сравнению; упражнение 18 - синтезу; упражнение 19 - анализу, синтезу и обобщению; упражнение 20 - фактическая классификация по признаку; упражнение 21 учит сравнению, синтезу и элементарной сериации.

Логическое развитие ребенка предполагает также формирование умения понимать и прослеживать причинно-следственные связи явлений и умения выстраивать простейшие умозаключения на основе причинно-следственной связи. Легко убедиться, что при выполнении всех приведенных выше примеров заданий и систем заданий ребенок упражняется в этих умениях, поскольку в их основе также лежат умственные действия: анализ, синтез, обобщение и др.

Таким образом, за два года до школы можно оказать значимое влияние на развитие математических способностей дошкольника. Даже если ваш ребенок не станет непременным победителем математических олимпиад, проблем с математикой у него в начальной школе не будет, а если их не будет в начальной школе, то есть все основания рассчитывать на их отсутствие и в дальнейшем.