Ферма биография. Вся элементарная математика - средняя математическая интернет-школа - великие математики - ферма. О теории чисел

План:

Введение

• 1 Биография
• 2 Научная деятельность
  • 2.1 Теория чисел
  • 2.2 Математический анализ и геометрия
  • 2.3 Другие достижения
  • 2.4 Великая теорема Ферма
• 3 Увековечение памяти
• 4 Примечания
• 5 Труды в русском переводе
Литература

Введение

Пьер де Ферма́ (фр. Pierre de Fermat , 17 августа 1601(16010817 ) - 12 января 1665) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года - советник парламента в Тулузе. Блестящий полиглот. Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма.

1. Биография

Пьер Ферма родился 17 августа 1601 года в гасконском городке Бомон-де-Ломань (Beaumont-de-Lomagne , Франция). Его отец, Доминик Ферма, был зажиточным торговцем, вторым городским консулом; мать, Клер де Лонг - преподавательница математики. В семье, кроме Пьера, были ещё один сын и две дочери. Ферма получил юридическое образование - сначала в Тулузе, а затем в Бордо и Орлеане.

В 1631 году, успешно закончив обучение, Ферма выкупил должность королевского советника парламента (другими словами, члена высшего суда) в Тулузе. В этом же году он женился на дальней родственнице матери, Луизе де Лонг. У них было пятеро детей .

Быстрый служебный рост позволил Ферма стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр (1648). Именно этой должности он обязан добавлением к своему имени признака знатности - частицы de ; с этого времени он становится Пьером де Ферма.

Около 1652 года Ферма пришлось опровергать сообщение о своей кончине во время эпидемии чумы; он действительно заразился, но выжил.

В 1660 году планировалась его встреча с Паскалем, но из-за плохого здоровья обоих учёных встреча не состоялась .

Пьер де Ферма умер 12 января 1665 года в городе Кастр, во время выездной сессии суда. Первоначально его похоронили там же, в Кастре, но вскоре (1675) прах перенесли в семейную усыпальницу Ферма, в церкви августинцев (Тулуза). Старший сын, Клеман-Самуэль, издал посмертное собрание его трудов, из которого современники и узнали о замечательных открытиях Пьера Ферма.

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.

2. Научная деятельность

Бюст Ферма в тулузском Капитолии

Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрёл славу одного из первых математиков Франции, хотя и не писал книг (научных журналов ещё не было), ограничиваясь лишь письмами к коллегам. Среди его корреспондентов были Р. Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие.

Открытия Ферма дошли до нас благодаря сборнику его обширной переписки (в основном через Мерсенна), изданной посмертно сыном Ферма.

В отличие от Галилея, Декарта и Ньютона, Ферма был чистым математиком - первым великим математиком новой Европы. Независимо от Декарта он создал аналитическую геометрию. Раньше Ньютона умел использовать дифференциальные методы для проведения касательных, нахождения максимумов и вычисления площадей. Правда, Ферма, в отличие от Ньютона, не свёл эти методы в систему, однако Ньютон позже признавался, что именно работы Ферма подтолкнули его к созданию анализа .

Но главная его заслуга - создание теории чисел.

2.1. Теория чисел

Математики Древней Греции со времён Пифагора собирали и доказывали разнообразные утверждения, относящиеся к натуральным числам (например, методы построения всех пифагоровых троек, метод построения совершенных чисел и т. п.). Диофант Александрийский (III век н. э.) в своей «Арифметике» рассматривал многочисленные задачи о решении в рациональных числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (ныне диофантовыми принято называть уравнения, которые требуется решить в целых числах). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI веке, а в 1621 году она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля a x 2 + 1 = y 2 в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером.

Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел - арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики».

Ферма обнаружил, что если a не делится на простое число p , то число a p − 1 − 1 всегда делится на p (см. Малая теорема Ферма). Позднее Эйлер дал доказательство и обобщение этого важного результата: см. Теорема Эйлера.

Обнаружив, что число простое при k ≤ 4, Ферма решил, что эти числа простые при всех k, но Эйлер впоследствии показал, что при k=5 имеется делитель 641. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество простых чисел Ферма.

Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4k +1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые множители простые числа вида 4k +3 в нечётной степени, такое представление невозможно. Эйлеру это доказательство стоило 7 лет трудов; сам Ферма доказывал эту теорему косвенно, изобретённым им индуктивным «методом бесконечного спуска». Этот метод был опубликован только в 1879 году; впрочем, Эйлер восстановил суть метода по нескольким замечаниям в письмах Ферма и неоднократно успешно его применял. Позже усовершенствованную версию метода применяли Пуанкаре и Андре Вейль.

Ферма разработал способ систематического нахождения всех делителей числа, сформулировал теорему о возможности представления произвольного числа суммой не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов). Самое знаменитое его утверждение - «Великая теорема Ферма» (см. ниже).

Многие арифметические открытия Ферма опередили время и были забыты на 70 лет, пока ими не заинтересовался Эйлер, опубликовавший систематическую теорию чисел. Одна из причин этого - интересы большинства математиков переключились на математический анализ.

2.2. Математический анализ и геометрия

Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым. Именно эти работы подтолкнули Ньютона к созданию анализа . В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма, или необходимый признак экстремума: в точках экстремума производная функции равна нулю.

Ферма сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней и распространил формулу интегрирования степени на случаи дробных и отрицательных показателей.

Наряду с Декартом, Ферма считается основателем аналитической геометрии. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году, он первый провёл классификацию кривых в зависимости от порядка их уравнения, установил, что уравнение первого порядка определяет прямую, а уравнение второго порядка - коническое сечение. Развивая эти идеи, Ферма пошёл дальше Декарта и применил аналитическую геометрию к пространству.

2.3. Другие достижения

Независимо от Паскаля Ферма разработал основы теории вероятностей. Именно с переписки Ферма и Паскаля (1654), в которой они, в частности, пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей, отсчитывает свою историю эта замечательная наука. Результаты Ферма и Паскаля были приведены в книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре» (1657), первом руководстве по теории вероятностей.

Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет в неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее время (впрочем, Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип более туманно). С этого тезиса начинается история главного закона физики - принципа наименьшего действия.

Ферма перенёс на трёхмерный случай (внутреннего касания сфер) алгоритм Виета для задачи Аполлония (касания окружностей) .

2.4. Великая теорема Ферма

Ферма широко известен благодаря т. н. великой (или последней) теореме Ферма. Теорема была сформулирована им в 1637 году, на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях.

Вероятнее всего, его доказательство не было верным, так как позднее он опубликовал доказательство только для случая n = 4 . Доказательство, найденное в 1994 году Эндрю Уайлсом, содержит 129 страниц и опубликовано в журнале «Annals of Mathematics» в 1995 году.

Простота формулировки этой теоремы привлекла много математиков-любителей, так называемых ферматистов. Даже и после решения Уайлса во все академии наук идут письма с «доказательствами» великой теоремы Ферма.

3. Увековечение памяти

• Старейший и самый престижный лицей Тулузы носит имя Ферма (Lycée Pierre de Fermat ).

4. Примечания

1. 1 2 Стиллвелл Д. Математика и ее история. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, стр. 211-212.
2. Белл Э. Т. Указ. соч., стр. 58.
3. 1 2 С. И. Вавилов. Исаак Ньютон. 2-е дополненное издание. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1945 г., глава 13.
4. Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Алгоритмы решения навигационной разностно-дальномерной задачи - от Аполлония до Коши // История науки и техники, 2008, № 11, С.2-21.

5. Труды в русском переводе

• Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. М.: Наука, 1992.

Литература

• Башмакова И. Г. Диофант и Ферма (к истории метода касательных и экстремумов). Историко-математические исследования, 17, 1966, с. 185-207.
• Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984.
• Белл Э. Т. Творцы математики. - www.math.ru/lib/i/417/index.djvu?djvuopts&page=56 М.: Просвещение, 1979. Глава 4: Ферма.
• Ван дер Варден Б. Л. Переписка между Паскалем и Ферма по вопросам теории вероятностей. ИМИ, 21, 1976, с. 228-232.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука, 1970. Том 2: Математика XVII столетия. - ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm
• Ферма - ru.wikisource.org/wiki/ЭСБЕ/Ферма // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.
• Фрейман Л. С. Ферма, Торричелли, Роберваль. В кн.: У истоков классической науки. М.: Наука, 1968, с. 173-254.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов - ru.wikisource.org/wiki/Исторический_обзор_происхождения_и_развития_геометрических_методов/Ферма/ДО. Гл. 2, § 10-14. М., 1883.

Ровно 350 лет назад во Франции скончался математик Пьер де Ферма, всю жизнь проработавший в судах. Он прославился как создатель Великой теоремы, на поиск доказательства которой ушло более 300 лет.

"Формула аⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет не дробных решений для n > 2", - это и есть формулировка одной из самых знаменитых математических теорем, более известной как Великая теорема Ферма (нередко ее же называют Последней теоремой Ферма). Француз Пьер Ферма сформулировал ее в 1637 году, за прошедшее время теорема получила широкую популярность не только среди ученых, но и в массовой культуре.

Но обо всем по порядку. О жизни Пьера Ферма известно не очень много. Он родился 17 августа 1601 года в небольшом городе Бомон-де-Ломань в семье зажиточного торговца, второго городского консула Доминика Ферма и Клер де Лонг, которая происходила из семьи юристов. Своим детям, а их в семье было четверо - два мальчика и две девочки, любящий отец Доминик дал хорошее образование. Пьер закончил колледж в родном городе, а затем обучался в Тулузе, Бордо и Орлеане, где получил степень бакалавра. Истинной страстью Пьера Ферма всю жизнь оставалась математика, но в силу разных обстоятельств ученые в то время не могли полностью посвятить себя любимой науке, и в качестве профессии будущий создатель Великой теоремы избрал юриспруденцию.

В 1630 году Пьер Ферма поселяется в Тулузе, где занимает пост советника парламента, то есть высшего суда. В том же году он женится на дальней родственнице своей матери Луизе де Лонг. Современники отмечали его честность и аккуратность, он "славился как один из лучших юристов своего времени", что позволило ему в 1648 году стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр и добавить к своему имени частицу де - признак знатности.

Помимо выдающихся заслуг в качестве юриста Пьер Ферма был известен и как полиглот и знаток античности - еще в колледже он овладел несколькими иностранными языками, впоследствии писал стихи на французском, латинском и испанском, а также консультировал издателей трудов древних греков.

И все же широкую известность Пьер Ферма получил как ученый. Занимался он математикой не по долгу службы, а просто потому, что любил ее. Интересны ему были ее закономерности и загадки. Признанным является его вклад в развитие аналитической геометрии и математического анализа.

Одной из первых математических работ Пьера Ферма стала попытка восстановления по сохранившимся упоминаниям утерянного трактата древнегреческого математика Аполлония "Плоские места".

Ферма первым применяет буквенную алгебру к задачам геометрии, вводит в аналитическую геометрию понятие бесконечно малой величины, предлагает методы нахождения экстремумов и проведения касательных к произвольным кривым, метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами", показывает, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной. Он первым занялся проблемой вычисления длины дуг кривых (задача спрямления кривых) и свел эту задачу к вычислению площадей.

По некоторым данным, Пьер Ферма видел взаимно обратную связь между методами определения площадей и нахождения касательных, и был в одном шаге от понятия "интеграл", однако не стал это направление развивать. Уже после смерти Ферма "задачи на площади" и "задачи на касательные" связали Ньютон и Лейбниц, которым и принадлежит право являться основоположниками дифференциального и интегрального исчислений. Ньютон признавался, что работы Ферма имели для него большое значение и подтолкнули к изысканиям в этом направлении.

В то время еще не было регулярно выходивших научных журналов, поэтому большое значение в распространении и обсуждении научных идей имела личная переписка ученых. Ферма вел обширную переписку с Декартом, отцом и сыном Паскалями, Гюйгенсом, Торричелли, де Бесси, Валлисом - величайшими математиками того времени, - либо непосредственно, либо через Марена Мерсенна - богослова и математика, своего рода координатора научной мысли, который занимался размножением писем и рукописей среди ученых, интересовавшихся близкими к обсуждаемым вопросами. В настоящее время Мерсенн известен в основном как исследователь чисел вида 2 n - 1 ("чисел Мерсенна"), играющих важную роль в теории чисел и криптографии.

Ферма закончил несколько научных трактатов, однако ни один из них не был опубликован при его жизни. Тем не менее они стали известны в рукописях в кругу математиков. В частности, в 1636 году Ферма закончил работу "Введение к теории плоских и пространственных мест", где впервые были классифицированы кривые в зависимости от порядка уравнения.

Сегодня даже школьникам, изучающим начала математического анализа, известно, что производная функции в точке экстремума, максимума или минимума, равна нулю. И хотя понятия "производная" тогда еще не существовало, именно об этом говорит лемма Ферма.

Работа "Метод отыскания максимумов и минимумов", переданная Мерсенну в 1636 году, была раскритикована Декартом. Ферма же, вступив в полемику, отвечал своему оппоненту спокойно и сдержанно, хотя и не без иронии, более подробно объясняя суть своего метода, что характеризует его как человека и ученого.

Пьер Ферма стоял у истоков области математики, называемой сейчас теорией вероятностей. В переписке Ферма с Блезом Паскалем было определено понятие математического ожидания, сформулированы теоремы сложения и умножения вероятностей. Результаты этих обсуждений приведены в работе Христиана Гюйгенса "О расчётах в азартной игре" (1657 г.).

Однако главной заслугой Ферма по праву считается создание теории чисел. Ни его современники, ни математики более позднего времени вплоть до Леонарда Эйлера, жившего в XVIII веке, не понимали значения поднятых им проблем.

Изучением свойств целых чисел Пьер Ферма занялся в 40-ые годы. 18 октября 1640 года в письме к французскому математику Бернару Френиклю Пьер Ферма сформулировал следующую теорему: если число a не делится на простое число p, то (а p-1 —1) делится на р. Утверждение это, получившее название Малой теоремы Ферма, было оставлено Ферма без доказательства. Позднее она была доказана и обобщена Леонардом Эйлером, швейцарским, немецким и русским математиком. Здесь стоит отметить, что ученый любил не только создавать новые теоремы, но и поддразнивать своих современников, предлагая им найти доказательства.

Из всего наследия античности да нас дошли две книги, посвященные вопросам теории чисел - "Начала" Евклида и "Арифметика" Диофанта. Вторая книга долгое время была неизвестна, лишь в XVI веке она была обнаружена в библиотеке Ватикана, причем не полностью. Она была посвящена решению неопределенных уравнений в рациональных числах. Теорем, в нашем понимании слова, книга не содержала.

Именно эта книга, изданная во Франции в начале XVII века, стала настольной книгой Ферма. Именно на ее полях в 1637 году Пьер Ферма сделал те самые знаменитые заметки, которые стали Великой теоремой его имени: напротив задачи древнегреческого математика: "Разделить квадратное число на два других квадратных числа", Ферма написал: "Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки".

Именно с этой заметки начинается удивительная судьба самой популярной и трудно доказуемой теоремы в мире. Удивительна она хотя бы потому, что теорема без доказательства является гипотезой, однако к этому времени за Ферма уже закрепилась слава человека, который никогда не ошибается. К тому же он оставил доказательство теоремы для четвертых степеней, применив "метод неопределенного или бесконечного спуска", с помощью которого в 1770 году теорему для случая n = 3 доказал Леонард Эйлер. Спустя полвека немецкий математик Иоганн Дирихле совместно с французом Адриеном Мари Лежандром доказал Великую теорему для частного случая n = 5, а в 1839 году Габриэль Ламе - для n = 7. В конце 30-х - начале 40-х годов XVIII века немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер нашел доказательство для всех простых чисел n меньше 100.

Многочисленные исследования математиков привели к построению новых теорий в арифметике алгебраических чисел. А популярность теоремы привела к тому, что доказательство ее пытались искать не только ученые, но и дилетанты. И тех, и других стали называть "ферматистами".

В 1908 году математик-любитель Пауль Вольфскель объявил о награде в 100 тысяч немецких марок первому человеку, кто в течение 100 лет докажет Великую теорему Ферма. После Первой мировой войны завещанная сумма обесценилась, впрочем, к этому времени профессиональные математики отказывались тратить свое время на поиск доказательства, так как считали это делом безнадежным, однако среди любителей это стало в некотором роде модой. В 1972 году журнал "Квант" даже предупредил своих читателей, что "письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут", а немецкий ученый Эдмунд Ландау поручил своим аспирантам находить ошибки в присланных ему работах "ферматистов" и отсылать их авторам письмо следующего содержания: "Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. … в строке …"

И все-таки полное доказательство было найдено! Дал его в 1995 году, спустя три с половиной века после того, как теорема была сформулирована, английский и американский математик Эндрю Джон Уайлс. Впервые Уайлс узнал о существовании теоремы Ферма в десятилетнем возрасте. После того, как первая попытка найти доказательство провалилась, он переключился на изучение трудов ученых-"ферматистов", изучал математику и вернулся к теореме спустя годы. Семь лет упорной работы в обстановке абсолютной секретности принесли свои плоды - в 1993 году он впервые представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма. Однако доказательство требовало серьёзной проверки, в результате которой была обнаружена грубая ошибка, хотя эксперты сошлись во мнении, что в целом решение верно. Уайлс, который с детства считал поиск доказательства Великой теоремы Ферма делом своей жизни, призвал на помощь специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже год спустя они опубликовали исправленное и дополненное доказательство. Решение общим объемом в 130 страниц было опубликовано в журнале Annals of Mathematics в мае 1995 года. А в 1997 году Уайлс получил 50 тысяч долларов в качестве премии Вольфскеля. С этих пор Великая теорема Ферма официально считается доказанной.

Между тем, сам Пьер Ферма не оставил никакого наследия. Долгие годы он работал над собранием сочинений, однако напряженная работа в суде, видимо, помешала ему осуществить задуманное. В 1679 году первое собрание трудов Ферма выпустил и опубликовал старший сын ученого Самюэль.

Умер Пьер Ферма 12 января 1665 года во время выездной сессии суда в городе Кастр, через 10 лет прах его был перенесен в семейную усыпальницу Ферма в Тулузе.

Введение

Прошло 375 лет после того как Пьер Ферма изложил на полях книги Великую теорему, всполошившую всех учёных.

На протяжении всех этих лет учёные пытались доказать эту теорему.

Но это уникальное творение Ферма и само уже целое столетие загнано в «подполье», объявлено «вне закона», стало самой презренной и ненавистной задачей во всей истории математики. Но настало время этому «гадкому утенку» математики превращаться в прекрасного лебедя! Удивительная загадка Ферма выстрадала свое право занять достойное место и в сокровищнице математических знаний, и в каждой школе мира рядом со своей сестрой - теоремой Пифагора. Такая уникальная, изящная задача просто не может не иметь и красивые, изящные решения. Если теорема Пифагора имеет 400 доказательств, то пусть в первое время у теоремы Ферма будет всего 4 простых доказательства.

Может, постепенно их станет больше.

Я хочу рассказать об этой уникальной проблеме всех учёных.

Биография Пьер Ферма

Пьер Ферма родился на юге Франции в городке Бомон-де-Ломань, где его отец - Доминик Ферма - был "вторым консулом", т. е. чем-то вроде помощника мэра.

Ферма направил всю силу своего гения на математические исследования. И все же математика не стала его профессией. Ферма избирает юриспруденцию. С 1630 года Ферма переселяется в Тулузу, где получает место советника в Парламенте (т. е. суде). В 1631 году Ферма женился на своей дальней родственнице с материнской стороны - Луизе де-Лонг. У Пьера и Луизы было пятеро детей, из которых старший, Самюэль, стал поэтом и ученым.

Крупную заслугу Ферма перед наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в аналитическую геометрию, подобно тому, как это, несколько ранее, было сделано Кеплером в отношении геометрии древних.

До Ферма систематические методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери. Но уже в 1642 году Ферма открыл метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами". Им было показано, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной.

Ферма одним из первых занялся задачей спрямления кривых, т.е. вычислением длины их дуг. Он сумел свести эту задачу к вычислению некоторых площадей.

Несмотря на отсутствие доказательств (из них дошло только одно), трудно переоценить значение творчества Пьера Ферма в области теории чисел. Ему одному удалось выделить из хаоса задач и частных вопросов, сразу же возникающих перед исследователем при изучении свойств целых чисел, основные проблемы, которые стали центральными для всей классической теории чисел. Ему же принадлежит открытие мощного общего метода для доказательства теоретико-числовых предложений - так называемого метода неопределенного или бесконечного спуска, о котором будет сказано ниже. Поэтому Ферма по праву может считаться основоположником теории чисел.

октября 1640 года Ферма высказал следующее утверждение: если число, а не делится на простое число р, то существует такой показатель к, что а-1 делится на р, причем является делителем р-1. Это утверждение получило название малой теоремы Ферма. Оно является основным во всей элементарной теории чисел.

В задаче второй книги своей "Арифметики" Диофант поставил задачу представить данный квадрат в виде суммы двух рациональных квадратов. На полях, против этой задачи, Ферма написал: "Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки". Это и есть знаменитая Великая теорема.

Великая теорема стоит на первом месте по числу данных ей неверных доказательств. Великая теорема связана не только с алгебраической теорией чисел, но и с алгебраической геометрией, которая сейчас интенсивно развивается.

Сам Ферма оставил доказательство Великой теоремы для четвертых степеней.

В прошлом веке Куммер, занимаясь Великой теоремой Ферма, построил арифметику для целых алгебраических чисел определенного вида. Это позволило ему доказать Великую теорему для некоторого класса простых показателей n. В настоящее время справедливость Великой теоремы проверена для всех показателей n меньше 5500.

Из других работ Пьера Ферма остается упомянуть:

) об его занятиях решением некоторых вопросов теории вероятностей, вызванных или поставленных перепискою с Блезом Паскалем;

) о попытках восстановления некоторых из утраченных произведений древних греческих математиков и, наконец,

) об его спорах с Декартом по поводу метода определения наибольших и наименьших величин и по вопросам диоптрики.

Современники характеризуют Ферма как честного, аккуратного, уравновешенного и приветливого человека, блестяще эрудированного как в математике, так и в гуманитарных науках, знатока многих древних и живых языков, на которых он писал неплохие стихи.

Правильные многоугольники

Я хочу знать, когда с помощью циркуля и линейки можно построить правильный n-угольник. Чтобы получить разумный ответ, нужно уточнить постановку задачи. А именно нужно фиксировать размер и положение правильного n-угольника (иначе число решений будет бесконечно, при условии, что есть хотя бы одно решение). Итак, будем считать, что наш n-угольник вписан в данную окружность g с центром О, и фиксировано положение А0 одной его вершины. Требуется определить положения А1, А2, …, Аn-1 остальных вершин. Разумеется, достаточно найти положение точки А1 - откладывая последовательную дугу А0А1, мы получим точки А2, А3, А4 и т.д.

Проще всего эта задача решается при n=6. Известно, что сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу данной окружности. Поэтому нужная «программа» выглядит так (приложение 1):

Циркулем построить из точки А0окружность G1 с радиусом ОА0.

Отметить точку А1пересечения окружностей G и G1.

Мы видим, что эта программа приводит к двум разным ответам, но соответствующие шестиугольники А0А1’А2’A3’A4’A5’ и A0A1”A2”A3”A4”A5” отличаются лишь порядком нумерации вершин. Такая же ситуация наблюдается в случаях n=3 и n=4. Более интересные случаи n=5 и n=10. Я разберу здесь случай n=10.

Если провести биссектрису А1В угла ОА1А0, то образовавшиеся треугольники ОА1В, ВА1А0, будут равнобедренными, а треугольники ОА1А0 и ВА1А0 - подобными. Будем считать прямую ОА0 числовой осью, на которой точке О соответствует нулю, а точка А0 - единице.

Решив это уравнение, мы найдём точку В. Искомая точка А1 найдётся как точка пересечения данной окружности G с окружностью с центром в точке А0 и радиусом длиной х. Таких точек 2 - и получается два решения: точки А1’ и А1”.

Второй корень отрицателен и по этой причине вроде бы не годится. Однако не будем спешить «отбрасывать» этот корень, а попробуем понять его геометрический смысл.

Восстановим предыдущий рисунок (приложение 3), считая, что точка В находится не справа, а слева от точки О. Мы получим другой рисунок (приложение 3). Это даст для искомой точки А1ещё два возможных положения: А1”’ и А1””.

Итак, мы пришли к четырём различным возможностям для точки А1. В результате получается два разных десятиугольника: выпуклый и звездчатый (приложения 2,3).

Заметим, что с «точки зрения» циркуля и линейки звездчатый десятиугольник ничем не хуже выпуклого.

Возможно возражение: у выпуклого многоугольника несмежные стороны не пересекаются, а у звездчатого пересекаются. Но это возражение отпадает, если мы стороной будем называть не отрезок между двумя вершинами (понятия «между» у нас нет!), а всю прямую. Тогда правильный чертёж «выпуклого» десятиугольника будет иметь вид, лишь размером отличающегося от «звездчатого» (приложение 4).

Аналогичная ситуация возникает в случае пятиугольников. Здесь тоже имеется 4 решения, приводящих к двум различным пятиугольникам (приложение 5, а, б) с двумя различными нумерациями вершин на каждом.

Теперь, не решая явно задачи на построения произвольного правильногоугольника, попробуем установить, сколько у неё различных решений. Обозначим через х длину дуги А0А1. Точка А1 является решением задачи (с точки зрения циркуля), если, откладывая дугу длины х от точки А0 последовательно n раз, мы вернёмся в исходную точку А0, а откладывая меньшее число раз - не вернёмся.

Последняя оговорка существенна, иначе в случае, например, n=6 нам пришлось бы назвать «правильным вписанным шестиугольником» дважды пройденный треугольник, или трижды пройденный диаметр, или даже шесть раз повторённую точку А0.

На языке арифметики, принимая длину всей окружности за единицу, наше условие можно сформулировать так: число nx - целое, а числа х, 2х, 3х, …, (n-1)х - не целые. Это соответствует тем четырём решениям, которые мы раньше нашли геометрическим способом. Заметим, что если взять в качестве х число (или , ,…), то новых геометрических решений мы не получим: положение точки на окружности зависит не от самого числа х = , а от остатка, который даёт k при делении на n.Ясно, что несократимые дроби (m

Правильный n-угольник допускает построение циркулем и линейкой только тогда, когда ф(n)=2l для некоторого целого l.

(Например, правильный семиугольник построить невозможно, так как число ф(n)=6 не является степенью двойки.)

Необходимость этого условия я постаралась объяснить. То, что оно является так же достаточным,- отдельный результат.

Числа Ферма

Полученный результат не исчерпывает полностью поставленную задачу. Остаётся невыясненным вопрос - а много ли таких чисел n, для которых ф(n)=2l, т.е. много ли вообще «красных» чисел?

Разумеется, про каждое отдельное число мы можем довольно быстро сказать, красное оно или чёрное - достаточно вычислить ф(n). Но это не даст наглядного описания всей совокупности красных чисел. Оказывается, поиск такого описания приводит к трудной и до сих пор не решённой проблемы из теории чисел.

Разложим n на простые множители:=p1m1p2m2…pkmk,

где p1,…,рk - различные простые числа, и посчитаем ф(n). Из свойств функции Эйлера (1) и (2) мы получаем:

ф(n)=ф(p1m1)ф(р2m2)…ф(pkmk)=p1m1-1p2m2-1(p1-1)(p2-1)…(pk-1).

Чтобы правая часть последнего выражения была степенью двойки, нужно, чтобы каждый нечётный простой множительp1 входил в него с показателем m1=1: при этом само число р1обязано иметь вид р1=2l+1. С другой стороны, выражение 2l+1 может быть простым лишь тогда, когда l - степень двойки. Итак, каждый нечётный множитель р1=+1.

Числа вида +1 получили название чисел Ферма. Первые пять чисел Ферма (при k=0,1,2,3,4) - 3, 5, 17, 257, 65537 - действительно оказались простыми. Как обнаружил Эйлер, шестое число Ферма 1 делится на 641.

Со времён Эйлера числами Ферма интересовались математики разных стран. В частности, почти ровно сто лет назад 1878 году, на заседании Петебургской академии наук слушалось сообщение Е.И. Золотарева о работе, представленной академии священником Ионном Первушиным. В этой работе устанавливалось, что число делится на 167722161 = 5225+1.

В последнее время многие числа Ферма исследованы на компьютерах. Среди них простых чисел обнаружить так и не удалось, так что до сих пор неизвестно, существуют ли простые числа Ферма, кроме первых пяти. Поэтому я вынуждена сформулировать ответ на задачу в может ещё не окончательной форме:

Правильный n-угольник допускает построение циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n=2kр1р2…рk , где р1 - попарно различные числа Ферма.

Великая теорема Ферма

Для любого натурального числа n> 2 уравнение xn+yn=zn не имеет натуральных решений x,y и z.

Для n = 3 теорему Ферма доказал Л. Эйлер, для n = 5 И. Дирихле и А. Лежандр, для n = 7 - Г. Ламе. Теорему Ферма достаточно доказать для любого простого показателя n = p> 2, т. е. достаточно доказать, что уравнение

не имеет решений в целых ненулевых взаимно простых числах x, y, z.

первый случай, когда (xyz, p) = 1 и

второй случай, когда p|z.

Доказательство второго случая теоремы Ферма более сложно и обычно проводится методом бесконечного спуска.

Теорема Ферма может быть сформулирована так: для любого натурального числа n> 2 на кривой Ферма xn + yn = 1 нет рациональных точек, кроме тривиальных (0, ±1), (±1,0). Рациональные точки на кривой Ферма исследуются методами алгебраической геометрии. Этими методами доказано, что число рациональных точек на кривой Ферма во всяком случае конечно, что следует из гипотезы Морделла, доказанной Г. Фалтингсом.

Уравнение Ферма рассматривается в алгебраических числах, целых функциях, матрицах и т.д. Имеются обобщения теоремы Ферма для уравнений вида

ферма число теорема доказательство

Облегчённая теорема Ферма

Доказательство:

Пусть существуют натуральные числа x, y, n, я такие, что n≥z и xn+yn=zn. Нетрудно заметить, что xxn, вопреки нашему ожиданию, что xn+yn=zn. Отсюда следует справедливость утверждения.

Что и требовалось доказать.

Малая теорема Ферма

Для любого простого р и целого а, ар-1 - 1 делится на р.

Доказательство:

Рассмотрим два случая: a делится на p; a не делится на p.

) a делится на p;

Тогда используя сравнения <#"556025.files/image012.jpg">

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Творческая работа Загайновой Ольги и Загайновой Натальи. Математик и дьявол

После нескольких месяцев напряженной работы по изучению бесчисленных выцветших манускриптов Саймону Флэггу удалось вызвать дьявола. Жена Саймона, знаток средневековья, оказала ему неоценимую помощь. Сам он, будучи всего лишь математиком, не мог разбирать латинские тексты, особенно осложненные редкими терминами демонологии X века. Замечательное чутье миссис Флэгг пришлось тут как нельзя кстати. После предварительных стычек Саймон и черт сели за стол для серьезных переговоров. Гость из ада был угрюм, так как Саймон презрительно отверг его самые заманчивые предложения, легко распознав смертельную опасность, скрытую в каждой соблазнительной приманке. - А что, если теперь вы для разнообразия выслушаете мое предложение? - сказал наконец Саймон. - Оно, во всяком случае, без подвохов. Дьявол раздраженно покрутил раздвоенным кончиком хвоста, будто это была обыкновенная цепочка с ключами. Очевидно, он был обижен. - Ну что ж, - сердито согласился он. - Вреда от этого не будет. Валяйте, мистер Саймон! - Я задам вам только один вопрос, - начал Саймон, и дьявол повеселел. - Вы должны ответить на него в течение двадцати четырех часов. Если это вам не удастся, вы платите мне сто тысяч долларов. Это скромное требование - вы ведь привыкли к неизмеримо большим требованиям. Никаких миллиардов, никаких Елен троянских на тигровой шкуре. Конечно, если я выиграю, вы не должны мстить. - Подумаешь! - фыркнул черт. - А какова ваша ставка? - Если я проиграю, то на короткий срок стану вашим рабом. Но без всяких там мук, гибели души и тому подобного - это было бы многовато за такой пустяк, как сто тысяч долларов. Не желаю я вреда и моим родственникам или друзьям. Впрочем, - подумав, добавил он, - тут могут быть исключения. Дьявол нахмурился, сердито дергая себя за кончик хвоста. Наконец он дернул так сильно, что даже скривился от боли, и решительно заявил:

Очень жаль, но занимаюсь только душами. Рабов у меня и так хватает. Если бы вы знали, сколько бесплатных и чистосердечных услуг оказывают мне люди, вы были бы поражены. Однако вот что я сделаю. Если в заданное время я не смогу ответить на ваш вопрос, вы получите не жалкие сто тысяч долларов, а любую - конечно, не слишком дикую - сумму. Кроме того, я предлагаю вам здоровье и счастье до конца вашей жизни. Если же я отвечу на ваш вопрос - ну что ж, последствия вам известны. Вот все, что я могу вам предложить.

Он взял из воздуха зажженную сигару и задымил. Воцарилось настороженное молчание. Саймон смотрел перед собой, ничего не видя. Крупные капли пота выступили у него на лбу. Он отлично знал, какие условия может выставить черт. Мускулы его лица напряглись... Нет, он готов прозакладывать душу, что никто - ни человек, ни зверь, ни дьявол - не ответит за сутки на его вопрос. - Включите в пункт о здоровье и счастье мою жену - и по рукам! - сказал он. - Давайте подпишем. Черт кивнул. Он вынул изо рта окурок, с отвращением посмотрел на него и тронул когтистым пальцем. Окурок мгновенно превратился в розовую мятную таблетку, которую черт принялся сосать громко и с явным наслаждением. - Что касается вашего вопроса, - продолжал он, - то на него должен быть ответ, иначе наш договор недействителен. В средние века люди любили загадки. Нередко ко мне приходили с парадоксами. Например: в деревне жил только один цирюльник, который брил всех, кто не брился сам. Кто брил цирюльника? - спрашивали они. Но, как отметил Рассел, словечко "всех" делает такой вопрос бессмысленным, и ответа на него нет. - Мой вопрос честный и не содержит парадокса, - заверил его Саймон. - Отлично. Я на него отвечу. Что вы ухмыляетесь? - Я... ничего, - ответил Саймон, согнав с лица усмешку. - У вас крепкие нервы, - сказал черт мрачным, но одобрительным тоном, извлекая из воздуха пергамент. - Если бы я предстал перед вами в образе чудовища, сочетающего в себе миловидность ваших горилл с грациозностью монстра, обитающего на Венере, вы едва ли сохранили бы свой апломб, и я уверен... - В этом нет никакой надобности, - поспешно сказал Саймон. Он взял протянутый ему договор, убедился, что все в порядке, и открыл перочинный нож. - Минуточку! - остановил его дьявол. - Дайте я его продезинфицирую. - Он поднес лезвие к губам, слегка подул, и сталь накалилась до вишнево-красного цвета. - Ну вот! Теперь прикоснитесь кончиком ножа... гм... к чернилам, и это все... Прошу вас, вторая строчка снизу, последняя - моя. Саймон помедлил, задумчиво глядя на раскаленный кончик ножа.

Подписывайтесь, - поторопил черт, и Саймон, расправив плечи, поставил свое имя. Поставив и свою подпись с пышным росчерком, дьявол потер руки, окинул Саймона откровенно собственническим взглядом и весело сказал: - Ну, выкладывайте свой вопрос! Как только я на него отвечу, мы отправимся. Мне надо посетить сегодня еще одного клиента, а времени в обрез. - Хорошо, - сказал Саймон и глубоко вздохнул. - Мой вопрос такой: верна или не верна великая теорема Ферма? Дьявол проглотил слюну. В первый раз его самоуверенность поколебалась. - Великая - чья? Что? - глухим голосом спросил он. - Великая теорема Ферма. Это математическое положение, которое Ферма, французский математик семнадцатого века, якобы доказал. Однако его доказательство не было записано, и до сего дня никто не знает, верна теорема или нет. - Когда Саймон увидел физиономию черта, у него дрогнули губы. - Ну вот, ступайте и займитесь! - Математика! - в ужасе воскликнул хвостатый. - Вы думаете, у меня было время изучать такие штуки? Я проходил тривиум и квадривиум , но что касается алгебры... Скажите, - возмущенно добавил он, - этично ли задавать мне такой вопрос? Лицо Саймона окаменело, но глаза сияли. - А вы предпочли бы сбегать за сто двадцать тысяч километров и принести какой-нибудь предмет величиной с гидростанцию Боулдер Дэм, - поддразнил он черта. - Время и пространство для вас легкое дело, правда? Что ж, сожалею, но я предпочитаю свой вопрос. Он очень прост, - успокаивающе добавил Саймон. - Речь идет о положительных целых числах. - А что такое положительное число? - взволновался черт. - И почему вы хотите, чтобы оно было целым? - Выразимся точнее, - сказал Саймон, пропустив вопрос дьявола мимо ушей. - Теорема Ферма утверждает, что для любого положительного целого числа n больше двух уравнение Xn + Yn = Zn не имеет решения в положительных целых числах. - А что это значит?.. - Помните, вы должны дать ответ. - А кто будет судьей - вы? - Нет, - ласково ответил Саймон. - Я не считаю себя достаточно компетентным, хотя бился над этой проблемой несколько лет. Если вы явитесь с ответом, мы представим его в солидный университет.

Я справлюсь, мне случалось делать и более трудные вещи, дорогой мой мистер Саймон, - сказал дьявол, - однажды я слетал на отдалённую звезду и принёс оттуда литр нейтрония ровно за 16…

Знаю, - перебил его Саймон. - Вы мастер на подобные фокусы. - Какие там фокусы! - сердито пробурчал дьявол. - Были гигантские технические трудности. Но не стоит ворошить прошлое. Я - в библиотеку, а завтра в это время... - Нет, - жестко перебил его Саймон. - Мы расписались полчаса назад. Возвращайтесь только через двадцать три с половиной часа. Не буду торопить вас, - иронически добавил он, когда дьявол с тревогой взглянул на часы. - Выпейте рюмку вина и, прежде чем уйти, познакомьтесь с моей женой. - На работе я никогда не пью, и у меня нет времени знакомиться с вашей женой... во всяком случае, теперь. Он исчез. В тот же миг вошла жена Саймона. - Опять подслушивала у дверей! - мягко упрекнул ее Саймон. - Конечно, - сдавленным голосом проговорила она. - И я хочу знать, дорогой, действительно ли труден этот вопрос. Потому что, если это не так... Саймон, я просто в ужасе! - Будь спокойна, вопрос труден, - беспечно ответил Саймон. - Не все это сразу понимают. Видишь ли, - тоном лектора продолжал он, - всякий легко найдет два целых числа, квадраты которых в сумме тоже дают квадрат. Например, 32 + 42 = 52, то есть просто 9 + 16 = 25. Ясно? - Да! Она поправила мужу галстук. - Но никто еще не мог найти два куба, которые при сложении тоже давали бы куб, или более высокие степени, которые приводили бы к аналогичному результату, - по-видимому, их просто нет. И все же, - торжествующе закончил он, - до сих пор не доказано, что таких чисел не существует! Теперь поняла? - Конечно. - Жена Саймона всегда понимала самые мудреные математические положения. А если что-то оказывалось выше ее понимания, муж терпеливо объяснял ей все по нескольку раз. Поэтому у миссис Флэгг оставалось мало времени для прочих дел. - Сварю кофе, - сказала она и ушла. Четыре часа спустя, когда они сидели и слушали Третью симфонию Брамса, дьявол явился вновь. - Я уже изучил основы алгебры, тригонометрии и планиметрии! - торжествующе объявил он. - Быстро работаете! - похвалил его Саймон. - Я уверен, что сферическая, аналитическая, проективная, начертательная и неевклидовы геометрии не представят для вас затруднений. Дьявол поморщился. - Их так много? - упавшим голосом спросил он. - О, это далеко не все. - У Саймона был такой вид, словно он сообщил радостную весть. - Неевклидовы вам понравятся, - усмехнулся он. - Для этого вам не надо будет разбираться в чертежах. Чертежи ничего не скажут. И раз вы не в ладах с Евклидом... Дьявол застонал, поблек, как старая кинопленка, и исчез. Жена Саймона хихикнула. - Мой дорогой, - пропела она, - я начинаю думать, что ты возьмешь верх! - Тсс! Последняя часть! Великолепно!

Еще через шесть часов что-то вспыхнуло, комнату заволокло дымом, и дьявол опять оказался тут как тут. У него появились мешки под глазами. Саймон Флэгг согнал с лица усмешку. - Я прошел все эти геометрии, - с мрачным удовлетворением произнес черт. - Теперь будет легче.

Я, пожалуй, готов заняться вашей маленькой головоломкой. Саймон покачал головой. - Вы слишком спешите. По-видимому, вы не заметили таких фундаментальных методов, как анализ бесконечно малых, дифференциальные уравнения и исчисление конечных разностей. Затем есть еще... - Неужели все это нужно? - вздохнул дьявол. Он сел и начал тереть кулаками опухшие веки. Бедняга не мог удержать зевоту. - Не могу сказать, наверное, - безразличным голосом ответил Саймон. - Но люди, трудясь над этой "маленькой головоломкой", испробовали все разделы математики, а задача еще не решена. Я предложил бы... Но черт не был расположен выслушивать советы Саймона. На этот раз он исчез, даже не встав со стула. И сделал это довольно неуклюже.

Мне кажется, он устал, - заметила миссис Флэгг. - Бедный чертяка! Впрочем, в ее тоне трудно было уловить сочувствие. - Я тоже устал, - отозвался Саймон. - Пойдем спать. Я думаю, до завтра он не появится. - Возможно, - согласилась жена. - Но на всякий случай я надену сорочку с черными кружевами. Наступило утро следующего дня. Теперь супругам показалась более подходящей музыка Баха. Поэтому они поставили пластинку с Вандой Ландовской. - Еще десять минут, и, если он не вернется с решением, мы выиграли, - сказал Саймон. - Я отдаю ему должное.

Он мог бы окончить курс за один день, притом с отличием, и получить диплом доктора философии. Однако... Раздалось шипение. Распространяя запах серы, поднялось алое грибообразное облачко. Перед супругами на коврике стоял дьявол и шумно дышал, выбрасывая клубы пара. Плечи его опустились. Глаза были налиты кровью. Когтистая лапа, все еще сжимавшая пачку исписанных листов, заметно дрожала. Вероятно, у него пошаливали нервы. Молча он швырнул кипу бумаг на пол и принялся яростно топтать их раздвоенными копытами. Наконец, истощив весь заряд энергии, черт успокоился, и горькая усмешка скривила его рот.

Вы выиграли, Саймон, - прошептал черт, глядя на математика с беззлобным уважением. - Даже я не мог за это короткое время изучить математику настолько, чтобы одолеть такую трудную задачу. Чем больше я в нее углублялся, тем хуже шло дело.

Неединственное разложение на множители, идеальные числа - о Ваал!.. Вы знаете, - доверительно сообщил он, - даже лучшие математики других планет - а они ушли далеко от вас - не добились решения. Эх, один молодчик на Сатурне - он немного напоминает гриб на ходулях - в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Но тут и он спасовал, - дьявол вздохнул.

Будьте здоровы. Черт исчезал очень медленно. Видно, он таки изрядно устал.

(1601-1665) французский математик

Пьер Ферма родился в августе 1601 года на юге Франции в семье помощника мэра городка Бомон-де-Ломань. Мать Пьера, урожденная Клер де Лонг, была из семьи юристов.

Доминик Ферма, отец Пьера, считал, что сыну нужно дать хорошее гуманитарное образование. И он не ошибся: Пьер действительно имел выдающиеся способности к гуманитарным дисциплинам. Впоследствии к нему обращались как к знатоку античной культуры, чтобы выяснить те или иные вопросы, которые возникали при издании античных классиков. Он был признанным авторитетом в греческой филологии. Но слава к нему пришла как к великому математику.

В колледже Пьер проявил способности к изучению языков. Итальянским и латинским, греческим и испанским он владел настолько свободно, что писал на них стихи.

Итак, Пьер Ферма учился сначала в родном городе у францисканцев, а продолжил образование в Тулузе, в университете. Выбор юридического факультета не был неожиданностью, так как его дедушка был юристом и вообще профессия юриста была весьма престижной.

Прекрасное гуманитарное образование, знание языков приводят Ферма к изучению древних авторов, и, наконец, возникает неослабевающий интерес к математике, которой он посвящает все свободное время. Его работы по математике были известны современным ученым. В то же время при жизни Ферма почти не печатался. Научные контакты существовали в виде переписки между математиками. В ней ставились задачи, рассказывалось об их решении, обсуждались проблемы, возникали споры и даже выяснялись отношения. Ферма переписывался с крупнейшими математиками того времени - Декартом, Паскалем, Френиклем де Бюсси, Гюйгенсом, Торричелли, Валлисом. Своеобразным центром переписки был парижский аббат Мерсенн. Зачастую письмо приходило к Мерсенну, он размножал его и посылал тем математикам, которых интересовали эти проблемы.

В 1629 году Ферма выполнил работу, которая потребовала и знания филологии, и математического таланта. Он восстановил ход рассуждений и доказательств Аполлония по латинскому переводу математических работ Паппа. Дело в том, что работы многих великих математиков античности, например греческого математика Аполлония (260-170 гг. до н. э.), известны науке благодаря пересказу их Паппом (III век н. э.).

Пьер Ферма работал во многих областях математики. Он создал теорию чисел, оставил великую теорему Ферма: дио-фантово уравнение х" + у" = г", где п - целое число, больше двух, не имеет решений в целых положительных числах.

Сочинения Диофанта (III в.) были изданы в XVI веке. Греческий текст «Арифметики» Диофанта с латинским переводом издал Баше де Мезириан в 1621 году. Один экземпляр этого перевода оказался у Пьера Ферма, и этот экземпляр, впоследствии ставший знаменитым, вызвал огромное количество толков и пересудов. Пьер Ферма читал «Арифметику» Диофанта и на полях книги делал свои замечания. Против одной из задач Диофанта он написал на полях книги: «Куб, однако, на два куба, или квадратоквадрат на два квадратоквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в две того названия невозможно разделить». Одна только эта фраза сделала имя Ферма бессмертным.

Другой великий, но уже современный математик, самый авторитетный в мире, был председателем комиссии по присуждению большой международной премии (которая, правда, была аннулирована в конце Первой мировой войны) за доказательство великой теоремы Ферма. Это Д. Гильберт (1862-1943).

Кроме великой теоремы Ферма в теории чисел, французский математик добился замечательных результатов в аналитической геометрии, в анализе при нахождении максимумов и минимумов, в неопределенных уравнениях. Замечательные результаты получил он и в теории вероятностей. Три великих имени стоят у истоков этой науки будущего - теории вероятностей: Паскаль, Ферма, Гюйгенс. Замечательна работа ученого в геометрической оптике, где есть «принцип Ферма», или «принцип наименьшего действия».

Математическое творчество не мешало работе Ферма. Сначала ему приносила доход адвокатская практика, которая проходила очень успешно, затем он переходит на государственную службу в кассационную палату Тулузского парламента на должность чиновника по приему жалоб. Во Франции городские судебные органы играли ключевую роль в жизни общества и назывались парламентами. В том же 1631 году, когда Пьер Ферма поступил на работу в Тулузский парламент, он женился на Луизе де Лонг, дочери советника этого же парламента. Заметим также, что его жена была кузиной матери Пьера. У них было пятеро детей - три сына и две дочери. Старший, Самюэль-Клемент, был доктором права и адвокатом. Как и отец, он помимо службы занимался творчеством. Младший сын Клер также выбрал юридическое образование, средний, Жан, - духовную карьеру, а дочери приняли монашество.

На работе Пьер Ферма пользовался авторитетом очень честного человека, эрудированного юриста. Интересно, что высшим чиновникам парламента предлагалось избегать излишнего общения, чтобы не давать повода для сплетен и пересудов. Вот и получилось, что Ферма вел весьма замкнутый, уединенный образ жизни, приходил со службы и садился за письменный стол. Так он работал, на одном месте, 34 года. На службе - советник следственной палаты, юрист и знаток права, неподкупный, добросовестный и честный чиновник, дома за письменным столом - великий математик. Умер Пьер Ферма во время одной из служебных поездок 12 января 1665 года.

Мир узнал о творческом наследии великого математика после издания его писем, математических работ, книги Диофанта с его замечаниями. Издал все это его старший сын Самюэль-Клемент.