Решение иррациональных уравнений. Иррациональные уравнения

О чем пойдет речь? Об уравнениях, которые содержат под знаком радикала функцию от переменной. Впрочем, знак радикала может быть заменен степенью с дробным показателем. Такие уравнения считают иррациональными .

Основные свойства иррациональных уравнений

1. Любой корень четной степени являются арифметическими, т.е. подкоренные выражения всегда неотрицательны и принимают только неотрицательные значения.

2. Любой корень нечетной степени определен при всех значениях подкоренного выражения и могут принимать любые значения.

3. Уравнение √(f(x)) = g(x) равносильно системе (здесь и далее под записью √(f(x)) будем понимать корень квадратный из выражения, стоящего в скобках):

{f(x) = (g(x))2,
{g(x) ≥ 0.

Какими способами можно решать иррациональные уравнения?

1. Возвести обе части уравнения в одну и ту же степень.
2. Заменой переменной.
3. Способом умножения обеих частей на одинаковые выражения.
4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.

Рассмотрим примеры уравнений, решаемых этими методами.

Пример 1.

Решить уравнение √(3х 2 – 14х + 17) = 3 – 2х.

Решение.

Воспользуемся свойством 3 из выше перечисленных и получим систему:

{3х 2 – 14х + 17 = (3 – 2х) 2 ,
{3 – 2х ≥ 0.

Из первого уравнения получаем х 2 + 2х – 8 = 0. Его корни: -4 и 2. Но неравенству нашей системы удовлетворяет лишь число -4.

Ответ: -4.

Возможен и другой путь решения этого уравнения. Не будем записывать систему. Забудем неравенство. Работаем только с уравнением. Но будем помнить, что возведение обеих частей уравнения в четную степень, приводит к уравнению-следствию. Оно наряду с корнями исходного уравнения может содержать и другие корни, которые называются посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.

Очевидно, что опять получим корни уравнения-следствия: -4 и 2. Проверка проводится путем подстановки в исходное уравнение √(3х 2 – 14х + 17) = 3 – 2х.

Если х = -4, то получаем √121 = 11, что верно. При х = 2 получаем √1 = -1, что не верно и корень 2 отсеян.

Ответ: х = -4.

Пример 2.

Решить уравнение 3 √(4х + 3) – 3 √(х + 2) = 1

Решение.

Возведём обе части уравнения в третью степень

(3 √(4х + 3) – 3 √(х + 2))3 = 13.

Получим (4х + 3) – (х + 2) – 3(3 √(4х + 3) 3 √(х + 2))(3 √(4х + 3) – 3 √(х + 2)) = 1

Или (4х + 3) – (х + 2) – 3 3 √((4х + 3)(х + 2))(3 √(4х + 3) – 3 √(х + 2)) = 1.

Учитывая первоначальное условие, уравнение примет вид

(4х + 3) – (х + 2) – 3 3 √((4х + 3)(х + 2)) = 1. Выполнив несложные преобразования, мы получим

3х – 3 3 √((4х + 3)(х + 2)) = 0,

х = 3 √((4х + 3)(х + 2)).

Для решения данного уравнения необходимо повторное возведение в куб.

Выполнив его, будем иметь

х 3 = 4х 2 + 11х + 6,

х 3 – 4х 2 – 11х – 6 = 0.

Способом подбора найдём один корень уравнения. Это число -1.

Разделив уголком многочлен х 3 – 4х 2 – 11х – 6 на х + 1 получим трёхчлен х 2 – 5х – 6.

Корни уравнения х 2 – 5х – 6 = 0 – числа: -1; 6.

Следовательно, корнями уравнения х 3 – 4х 2 – 11х – 6 = 0 будут числа -1; 6.

Подставляя числа -1; 6 в первоначальное уравнение убедимся в том, что корень уравнения – число 6.

Ответ: 6.

Пример 3.

Решить уравнение х 2 – х√(4x + 5) = 8х + 10

Решение.
Заметим, что 8х + 10 = 2(√(4x + 5)) 2 . Проверкой убеждаемся, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Значит, поделив на х 2 обе части данного уравнения, получим ему равносильное:

1 – √(4x + 5)/х = 2(√(4x + 5)/х) 2

Заменим √(4x + 5)/х = t и решим полученное квадратное уравнение 1 – t = 2t 2.

Получим t 1 = -1 и t 2 = 1/2. Вернёмся к исходной переменной х и получим 2 уравнения

1) √(4x + 5)/х = -1,

2) √(4x + 5)/х = 1/2

Из первого уравнения х = -1. (х = 5 приходится отбросить после проверки).

Из второго -х = 8 ± 2√21. Для отсеивания посторонних корней здесь проще проанализировать условие, чем делать подстановку. Ведь уравнение легко преобразуется к виду √(4x + 5) = 0,5х, которое равносильно системе

{4х + 5 = 0,25х 2 ,
{0,5х ≥ 0.

Теперь очевидно, что подходит х = 8 + 2√21. И общий

ответ: х = -1 и х = 8 + 2√21.

Пример 4.

Решить уравнение √(8х + 1) + √(3х – 5) = √(7х + 4) + √(2х – 2).

Решение.

Воспользуемся формулой √а + √b = (a – b) / (√а – √b), которая верна при a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b.

С учетом ОДЗ (х ≥ 1 2/3) эту формулу можно применить к выражениям стоящим в левой и правой части уравнения.

И получим: (5х + 6) / (√(8х + 1) – √(3х – 5)) = (5х + 6) / (√(7х + 4) – √(2х – 2))

или (5х + 6)((√(8х + 1) – √(3х – 5)) – (√(7х + 4) – √(2х – 2)) = 0

Оно равнозначно совокупности 2 уравнений:

1) (5х + 6) = 0 и

2) √(8х + 1) – √(3х – 5) = √(7х + 4) – √(2х – 2)

Из первого получаем х = -1,2. Но это значение не входит в ОДЗ.

Сопоставим второе уравнение с исходным. При сложении этих уравнений получим:

2√(8х + 1) = 2√(7х + 4).

х = 3 .

Ответ: 3.

Невозможно описать все способы решения иррациональных уравнений в одной статье. Вряд ли вообще найдется источник с таким полным содержанием. Да он вам и не нужен. Для успешной подготовки к ЕГЭ, как и подготовки любого специалиста вообще, важно не запомнить теорию или методы и воспроизвести в аналогичных случаях, а, важнее, овладеть ими и применить в незнакомой ситуации. То есть некоторый базовый запас знаний надо научиться применять творчески. Тогда вы сами способны будете изобрести новые способы, то есть делать открытия.

Успехов вам. А своими находками делитесь с друзьями. Это можно сделать и через комментарии к статьям в блоге.

Остались вопросы? Не знаете, как решить иррациональное уравнение?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений , которые очень похожи на первый взгляд, но по сути сильно друг от друга отличаются.

(1)

(2)

В первом уравнении мы видим, что неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения. Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень мы можем не опасаться получить посторонние корни.

Пример 1 . Решим уравнение

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

Title="g(x)>=0"> - это условие существования корней .

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

(3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо уравнения:

Title="f(x)>=0"> (4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение равносильно системе:

Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g^2{(x)}} {g(x)>=0} }}{ }">

Пример 2 . Решим уравнение:

.

Перейдем к равносильной системе:

Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-7x+5={(1-x)}^2} {1-x>=0} }}{ }">

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

Неравеству title="1-x>=0">удовлетворяет только корень

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3 . Решим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

По тереме Виета:

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение. Очевидно, что при правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При получаем верное равенство.

Анализ урока-лекции в 11-м классе по теме: "Способы решения иррациональных уравнений" (40 минут)

Фотография урока .

Этапы урока, дидактические задачи, время

Содержание обучения

Методы обучения

Показатели реальных результатов

1 . Организа-ционный момент.

Подготовка учащихся к работе на занятии.

(1 минута)

Подготовка учеников к работе.

Выполнение требований.

Фронтальная, индивидуальная

Полная готовность класса. Быстрое включение в работу.

2. Подготов-ка к основ-ному этапу урока.

Обеспечение мотивации и принятия учащимися цели учебно-познаватель-ной деятель-ности, актуа-лизация опор-ных знаний и умений.

(3 минуты)

Совместное формулирование целей урока для учащихся для определения действий школьников во время лекции; обеспечение осознания учащимися необходимости изучения новой темы. Повторение определения иррациональных уравнений, известных способов решения иррациональных уравнений стандартного вида. Создание поискового режима для подготовки и восприятия содержания лекции с помощью работы над предложенным уравнением. Учащиеся активно работают. Грамотно и обоснованно отвечают на вопросы учителя, хорошо владеют вычислительными навыками. Оставили уравнение, чтобы решить его после изучения нового материала.

Мотивации и стимулирования; информационно-рецептивные; эвристические, волевые методы

Фронтальная, индивидуальная

Указаны планируемые результаты, чётко поставлены образовательные и развивающие цели, сформулированные вместе с учащимися в их действиях, но нет чёткости в постановке воспитательных целей. Обеспечена мотивация и принятие учащимися целей урока. Осознанное и быстрое включение школьников в деловой ритм. Готовность учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основе повторенных опорных знаний и проведённой поисковой работы.

3. Усвоение новых зна-ний и спосо-бов действий .

Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний и способов действий, связей и отношений в объекте изучения.

(20 минут)

Учитель представляет новый материал в виде лекции. Изложение последовательно, логично, аргументировано, с выделением главных вопросов и представлением основного материала одновременно в словесной и знаково-символической формах. Материал доступен учащимся. Они не просто записывают излагаемый материал в тетрадях, но и предлагают разные способы для решения уравнений, вникают в суть темы, пытаются понять как им в дальнейшем применять полученные знания. Учитель одновременно представляет основной материал в словесной и знаково-символьной формах.

Лекция, диалог, символические методы, сочетание словесных и наглядных методов, опора на личностный опыт, побуждение к поиску альтернативных решений, практические методы, логические методы

Фронтальная, индивидуальная

Активные действия учащихся при решении одного иррационального уравнения разными способами, при изучении разных подходов к решению уравнений в зависимости от вида иррационального уравнения. Использование самостоятель-ности в добывании знаний и овладении способами действий. Знания и умения, которые приобрели учащиеся. Проговариваются основные выводы, теория представлена в системе; доступна как аудиалам, так и визуалам, и кинестетикам. Представлены образцы решения уравнений.

4 . Первичная проверка понимания.

Установление правильности и осознан-ости усвоения нового учеб-ного материа-

ла; выявление пробелов и неверных представле-ний и их коррекция.

(10 минут)

Учащиеся отвечали на вопрос учителя: “Почему данное уравнение не имеет корней”. Предложено было 6 уравнений. При фронтальной работе ученики грамотно, обоснованно, аргументировано отвечали на поставленный вопрос, дополняли, уточняли, исправляли ответы одноклассников. Один ученик решал предложенное уравнение на доске методом возведения в квадрат дважды, уединив при этом радикал. Работа учащихся в группах по 4 человека по выполнению заданий двух видов. Все учащиеся активно участвовали в обсуждении.

Беседа, упражнение, выполнение учебного задания, алгоритмизация, создание ситуации успеха, волевые методы; познавательные, практические, логические методы; самоуправление; социальные методы

Фронтальная, индивидуальная, групповая

Усвоение сущности новых способов решения иррациональных уравнений на репродуктивном и конструктивном уровнях. Хорошее качество ответов учащихся.

Работа в группах дала возможность всем учащимся проговаривать новый материал, участвовать в обсуждении решения уравнений, использовать знания, умения, навыки, сформированные ранее.

5. Подведе-ние итогов урока.

Дать анализ и оценку успешности достижения цели и наме-тить перспек-тиву после-дующей работы.

(2 минуты)

Проверка усвоения основного материала во фронтальной беседе. Анализ и оценка успешности достижения цели, перспективы последующей работы при изучении темы. Учитель отметил, что тема намеренно раскрыта не полностью и предложил учащимся найти ещё другие способы решения иррациональных уравнений в пособиях по математике. Ребята сформулировали выводы из теории, которую сегодня узнали. Учитель оценил работу класса.

Словесные, эмоциональные методы; оценка практической значимости содержания обучения, прогнозирование будущей деятельности; логические методы

Фронтальная

Получение учащимися информации о реальных результатах учения. Чёткость и краткость этапа.

6. Рефлексия.

Мобилизация учащихся на рефлексию своего поведения (мотивации, способов деятельности, общения). Усвоение принципов саморегуля-

ции и сотруд-ничества.

(2 минуты)

Учащиеся провели самоконтроль за усвоением основного содержания лекции, отвечая на вопросы:

1) что на уроке было главным;

2) что на уроке было интересным;

3) что нового сегодня узнали;

4) чему научились?

Учащиеся оценивали успешность своей деятельности, отыскивали причины, приведшие к успеху и неудачам. На один и тот же вопрос отвечали несколько учащихся. Учитель наравне с учащимися высказывал своё мнение.

Рефлексия деятельности и поведения, словесные методы, социальные методы

Фронтальная, индивидуальная

Открытость некоторых учащихся в осмыслении своих действий и самооценке. Не все учащиеся готовы правильно оценить свою работу на уроке, последовательно и чётко изложить свои мысли. Чувствуется собранность учителя, рабочий настрой учащихся. Речь учителя грамотная, эмоциональная. Обстановка на уроке доброжелательная, что располагало учащихся к рефлексии.

7. Информа-ция о домаш-нем задании, инструктаж

по его вы-полнению.

Обеспечение понимания

цели, содер-жания и способов выполнения домашнего задания. Проверка соответствую-щих записей.

(2 минуты)

Учитель обсуждает с учащимися вопрос о том, что должно содержать домашнее задание, чтобы новый материал был качественно закреплён. Домашнее задание предложено на выбор: 1) решить уравнения, которые записал учитель (5 уравнений); 2) подобрать или придумать иррациональные уравнения. Также дано индивидуальное задание для желающих: найти ещё другие способы решения иррациональных уравнений.

Словесные, наглядные, эмоциональные, познавательные методы

Фронтальная, индивидуальная

Реализация условий для успешного выполнения домашнего задания всеми учащимися в соответствии с актуальным уровнем их развития. Соответствие содержания домашнего задания уровню обученности учащихся, т.к. оно осознано всеми учащимися в процессе обсуждения.

АНАЛИЗ УРОКА – ЛЕКЦИИ В 11 КЛАССЕ по теме “СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ” (40 минут).

Триединая дидактическая цель (ТДЦ) урока предусматривает взаимосвязь воспитательного, обучающего и развивающего компонентов. Цели урока были сформулированы в совместной деятельности учителя и учащихся. Чётко поставлены образовательные и развивающие цели, которые были направлены на действия всех учащихся. Но в постановке воспитательных целей не было чёткости, так как трудно воспринималась учащимися, например такая цель как формирование ценностного отношения к математическим понятиям. Поставленные цели были взаимообусловлены и поэтому приняты всеми учащимися. образовательные цели были операциональны, так как точно определили, что учащиеся должны усвоить различные способы решения иррациональных уравнений и должны научиться применять их в соответствии с заданным уравнением. Эти цели были определены и находились в зоне ближайшего развития каждого ребёнка, так как на уроке задания давались и на базовом, и на творческом уровне с учётом индивидуальных особенностей учащихся (аудиалы, визуалы, кинестетики).

Реальные результаты – на уроке активно участвовали все учащиеся (на репродуктивном, конструктивном уровнях) (запись лекции, обсуждение, работа в группах, рефлексия). Ответы учащихся на уроке в основном были положительные.

Тип урока – урок изучения и первичного закрепления новых знаний. Его логика соответствует структуре урока данного типа. Включает следующие этапы урока: организационный момент, подготовка к основному этапу, усвоение новых знаний и способов действий, первичная проверка понимания, подведение итогов урока, рефлексия, информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению.

На этапе подготовки к основному этапу урока была обеспечена мотивация и принятие учащимися цели учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний и умений. Задача выполнена полностью. Методы, отобранные учителем, оптимально подобраны под содержание дидактической задачи.

Решение этой дидактической задачи обеспечило переход к следующему, главному этапу, который проходил с 5-ой по 30-ю минуту – положительно продуктивная часть урока. На этапе было обеспечено восприятие, осмысление знаний и способов действий репродуктивного и конструктивного уровня, частично были использованы задания творческого уровня. Все аспекты ТДЦ урока нашли отражение в организации деятельности учащихся и в её содержании. Учитывая возможности класса и особенности изучаемого материала, учитель оптимально выбрал методы: словесные, наглядные, практические, логические, опора на личностный опыт, побуждение к поиску альтернативных решений.

Первичный контроль, проверка понимания показали, что материал усвоен. Чередование словесных, практических методов, форм организации познавательной деятельности способствовали предупреждению перегрузки учащихся в процессе урока.

Рефлексия показала, что своим продвижением довольны все учащиеся, отметили сотрудничество.

Формы организации познавательной деятельности соответствовали содержанию учебного материала и возрастным особенностям учащихся.

Методы обучения , используемые учителем, были разнообразны (словесные, наглядные, практические, логические и другие) и способствовали лучшему усвоению учебного материала.

Для домашнего задания было предложено на выбор два задания, одно из которых требовало творческого подхода. Также было дано индивидуальное задание. Всё это способствовало изучению и освоению материала в зоне ближайшего развития.

Урок достиг целей, представляет целостную систему с полным набором элементов. Связи между дидактическими задачами, содержанием учебного материала, методами и формами обучения прочные и обеспечили оптимальное функционирование всей системы урока. ТДЦ урока реализована полностью.

Более тщательно отбирать и дифференцировать материал для учащихся разных уровней, включённый в содержание урока – лекции.

Планировать проведение урока – лекции на двухчасовое занятие, так как за один урок изучается не очень большой объём нового материала.

Анализ посещенного урока.

Преподаватель Гацаева М.В имеет большой педагогический опыт и пользуется заслуженным уважением учеников. Урок в 9 «Б» классе начался своевременно и организованно – строго по звонку. Основные задачи урока были сформулированы педагогом четко и ясно, громко. Учитель показывает примеры решения упражнений чётко и доступно, объясняя важные для понимания учениками моменты, учитель указывает и исправляет ошибки в процессе выполнения упражнений учащимися. Правильно подобранные упражнения по уровням сложности позволяют наращивать сложность по мере усвоения материала. Учащиеся к занятиям относятся с большим энтузиазмом, охотно решают задания в тетрадях, но отсутствует мотивация к выходу для решений заданий у доски. Вступительная части урока содержит контроль за приобретенными знаниями, и введение в новый материал, что подготавливает детей к основной его части. Учитель относится к детям с уважением, пониманием, соблюдает тактичность. Урок проводится согласно программе. Перед уроком учитель составляет конспект урока, в котором рассмотрены методики проведения урока, их целесообразность.

Во время урока учитель привлекает внимание учеников, задавая вопросы, иногда выходит на уровень диалога с учениками. Методы обучения и воспитания достаточно результативны, не сложны, скоординированы, дети быстро их усваивают. В процессе урока учитель исправляет ошибки в решениях примеров, в случаях затруднений делает подсказки. Учитель придерживается дидактических принципов обучения и воспитания: активности, наглядности обучения, систематичности, последовательности, доступности. Привлекает детей к анализу выполненных примеров, самооценке. Ученики относятся к занятиям положительно, по возможности выполняют все упражнения урока. Время урока целесообразно распределено по уровням сложности.

В заключительной части урока закрепление основных моментов, рефлексия. Проводится подведение итогов урока, дается домашнее задание.

^ Ход урока.

Организационный этап. Учитель приветствует учеников, отмечает присутствующих, подготавливает учащихся к работе. Этот этап не занимает много времени, но очень важен для мобилизации внимания учеников и внутренней готовности к проверке знаний, полученных на предыдущем уроке и изучению нового материала.


Задача второго этапа урока - установить правильность и осознанность усвоенных на предыдущем занятии знаний. Учитель никого не вызывает к доске, а понемногу опрашивает весь класс. Если ученик затрудняется с ответом, учитель предлагает другим помочь ему с формулировками, что-то добавить, высказать свою точку зрения, сам помогает и направляет ход мыслей учеников. Таким образом, за пять – семь минут, учащиеся вспомнили, обсудили и обобщили материал предыдущего урока.


Преподаватель сообщает тему сегодняшнего урока. Задача этого этапа -организовать и направить к цели познавательную деятельность учащихся. Время от времени преподаватель акцентирует внимание учеников на каких-то важных фактах: «А вот здесь давайте поподробнее», «Это очень важно». Таким образом, он обращает внимание учеников на какие-то значимые, ключевые факты, являющиеся ключом к разрешению какого-либо вопроса, проблемы. Это способствует выработке у учащихся умению выделять главные мысли, существенные стороны изучаемого материала, учит их мыслить аналитически, составляя из отдельных эпизодов целостную картину.

Нужно отметить, что учащиеся активно включаются в обсуждение вопросов, задаваемых учителем, не стесняются выражать свои мысли. Учитель же поощряет такую активность одобряющими фразами: «Молодец», «Правильно», «Да, именно так» и т.д. Это способствует внутреннему раскрепощению учеников, никто не чувствует себя лишним, ученикам очень приятно осознавать, что их мнение значимо, что они могут увидеть какие-то скрытые закономерности и факты, а значит, способны мыслить глубоко и серьезно. Ученики ведут себя дисциплинированно, так как все включены в работу и не отвлекаются.

^ Управляющая роль, поведение и деятельность учителя

Учитель уверенно и настойчиво требует выполнений задач урока. Он умело держится перед классом, владеет им. К детям относится с уважением, соблюдает тактичность. Взаимоотношения детей с учителем доверительные. Он дает указания детям правильно, его речь четкая и ясная. К отдельным ученикам применяет индивидуальных подход.

Выводы

В процессе урока все задания учителя выполнены на высоком уровне. В процессе урока выполнены образовательные, воспитательные и развивающие задачи.

Предложения

Для совершенствования проведений занятий я бы предложил, стимулировать мотивацию учеников; использовать более высокую техническую базу: презентации

Изучая алгебру, школьники сталкиваются с уравнениями многих видов. Среди тех из них, которые наиболее простые, можно назвать линейные, содержащие одну неизвестную. Если переменная в математическом выражении возводится в определенную степень, то уравнение называют квадратным, кубическим, биквадратным и так далее. Указанные выражения могут содержать рациональные числа. Но существуют также уравнения иррациональные. От прочих они отличаются наличием функции, где неизвестное находится под знаком радикала (то есть чисто внешне переменную здесь можно увидеть написанной под квадратным корнем). Решение иррациональных уравнений имеет свои характерные особенности. При вычислении значения переменной для получения правильного ответа их следует обязательно учитывать.

«Невыразимые словами»

Не секрет, что древние математики оперировали в основном рациональными числами. К таковым относятся, как известно, целые, выражаемые через обыкновенные и десятичные периодические дроби представители данного сообщества. Однако ученые Среднего и Ближнего Востока, а также Индии, развивая тригонометрию, астрономию и алгебру, иррациональные уравнения тоже учились решать. К примеру, греки знали подобные величины, но, облекая их в словесную форму, употребляли понятие «алогос», что означало «невыразимые». Несколько позднее европейцы, подражая им, называли подобные числа «глухими». От всех остальных они отличаются тем, что могут быть представлены только в форме бесконечной непериодической дроби, окончательное числовое выражение которой получить просто невозможно. Поэтому чаще подобные представители царства чисел записываются в виде цифр и знаков как некоторое выражение, находящееся под корнем второй или большей степени.

На основании вышесказанного попробуем дать определение иррациональному уравнению. Подобные выражения содержат так называемые «невыразимые числа», записанные с использованием знака квадратного корня. Они могут представлять собой всевозможные довольно сложные варианты, но в своей наипростейшей форме имеют такой вид, как на фото ниже.

Преступая к решению иррациональных уравнений, перво-наперво необходимо вычислить область допустимых значений переменной.

Имеет ли смысл выражение?

Необходимость проверки полученных значений вытекает из свойств Как известно, подобное выражение приемлемо и имеет какой-либо смысл лишь при определенных условиях. В случаях корня четной степени все подкоренные выражения должны быть положительными или равняться нулю. Если данное условие не выполняется, то представленная математическая запись не может считаться осмысленной.

Приведем конкретный пример, как решать иррациональные уравнения (на фото ниже).

В данном случае очевидно, что указанные условия ни при каких значениях, принимаемых искомой величиной, выполняться не могут, так как получается, что 11 ≤ x ≤ 4. А значит, решением может являться только Ø.

Метод анализа

Из вышеописанного становится понятно, как решать иррациональные уравнение некоторых типов. Здесь действенным способом может оказаться простой анализ.

Приведем ряд примеров, которые снова наглядно это продемонстрируют (на фото ниже).

В первом случае при внимательном рассмотрении выражения сразу оказывается предельно ясно, что истинным оно быть не может. Действительно, ведь в левой части равенства должно получаться положительное число, которое никак не способно оказаться равным -1.

Во втором случае сумма двух положительных выражений может считаться равной нулю, лишь только когда х - 3 = 0 и х + 3 = 0 одновременно. А подобное опять невозможно. И значит, в ответе снова следует писать Ø.

Третий пример очень похож на уже рассмотренный ранее. Действительно, ведь здесь условия ОДЗ требуют, чтобы выполнялось следующее абсурдное неравенство: 5 ≤ х ≤ 2. А подобное уравнение аналогичным образом никак не может иметь здравых решений.

Неограниченное приближение

Природа иррационального наиболее ясно и полно может быть объяснена и познана только через нескончаемый ряд чисел десятичной дроби. А конкретным, ярким примером из членов этого семейства является πи. Не без оснований предполагается, что эта математическая константа была известна с древних времен, используясь при вычислении длин окружности и площади круга. Но среди европейцев ее впервые применили на практике англичанин Уильям Джонс и швейцарец Леонард Эйлер.

Возникает эта константа следующим образом. Если сравнивать самые разные по длине окружности, то отношение их длин и диаметров в обязательном порядке равны одному и тому же числу. Это и есть πи. Если выразить его через обыкновенную дробь, то приблизительно получим 22/7. Впервые это сделал великий Архимед, портрет которого представлен на рисунке выше. Именно поэтому подобное число получило его имя. Но это не явное, а приближенное значение едва ли не самого удивительного из чисел. Гениальный ученый с точностью до 0,02 нашел искомую величину, но, по сути, данная константа не имеет реального значения, а выражается как 3,1415926535… Она представляет собой бесконечный ряд цифр, неограниченно приближаясь к некоему мифическому значению.

Возведение в квадрат

Но вернемся к иррациональным уравнениям. Чтобы отыскать неизвестное, в данном случае очень часто прибегают к простому методу: возводят обе части имеющегося равенства в квадрат. Подобный способ обычно дает хорошие результаты. Но следует учитывать коварство иррациональных величин. Все полученные в результате этого корни необходимо проверять, ведь они могут не подойти.

Но продолжим рассмотрение примеров и постараемся найти переменные вновь предложенным способом.

Совсем несложно, применив теорему Виета, найти искомые значения величин после того, как в результате определенных оперций у нас образовалось квадратное уравнение. Здесь получается, что среди корней будут 2 и -19. Однако при проверке, подставив полученные значение в изначальное выражение, можно убедиться, что ни один из этих корней не подходит. Это частое явление в иррациональных уравнениях. Значит, наша дилемма вновь не имеет решений, а в ответе следует указать пустое множество.

Примеры посложней

В некоторых случаях требуется возводить в квадрат обе части выражения не один, а несколько раз. Рассмотрим примеры, где требуется указанное. Их можно увидеть ниже.

Получив корни, не забываем их проверять, ведь могут возникнуть лишние. Следует пояснить, почему такое возможно. При применении подобного метода происходит в некотором роде рационализация уравнения. Но избавляясь от неугодных нам корней, которые мешают производить арифметические действия, мы как бы расширяем существующую область значений, что чревато (как можно понять) последствиями. Предвидя подобное, мы и производим проверку. В данном случае есть шанс убедиться, что подходит только один из корней: х = 0.

Системы

Что же делать в случаях, когда требуется осуществить решение систем иррациональных уравнений, и у нас в наличии не одно, а целых два неизвестных? Здесь поступаем так же, как в обычных случаях, но с учетом вышеперечисленных свойств данных математических выражений. И в каждой новой задаче, разумеется, следует применять творческий подход. Но, опять же, лучше рассмотреть все на конкретном примере, представленном ниже. Здесь не просто требуется найти переменные х и у, но и указать в ответе их сумму. Итак, имеется система, содержащая иррациональные величины (см. фото ниже).

Как можно убедиться, подобная задача не представляет ничего сверхъестественно сложного. Требуется лишь проявить сообразительность и догадаться, что левая часть первого уравнения представляет собой квадрат суммы. Подобные задания встречаются в ЕГЭ.

Иррациональное в математике

Каждый раз потребность в создании новых видов чисел возникала у человечества тогда, когда ему не хватало «простора» для решения каких-то уравнений. Иррациональные числа не являются исключением. Как свидетельствуют факты из истории, впервые великие мудрецы обратили на это внимание еще до нашей эры, веке в VII. Сделал это математик из Индии, известный под именем Манава. Он отчетливо понимал, что из некоторых натуральных чисел невозможно извлечь корень. К примеру, к таковым относятся 2; 17 или 61, а также многие другие.

Один из пифагорейцев, мыслитель по имени Гиппас, пришел к тому же выводу, пытаясь производить вычисления с числовыми выражениями сторон пентаграммы. Открыв математические элементы, которые не могут быть выражены цифровыми значениями и не обладают свойствами обычных чисел, он настолько разозлил своих коллег, что был выброшен за борт корабля, в море. Дело в том, что другие пифагорейцы сочли его рассуждения бунтом против законов вселенной.

Знак радикала: эволюция

Знак корня для выражения числового значения «глухих» чисел стал использоваться при решении иррациональных неравенств и уравнений далеко не сразу. Впервые о радикале начали задумываться европейские, в частности итальянские, математики приблизительно в XIII веке. Тогда же для обозначения придумали задействовать латинскую R. Но немецкие математики в своих работах поступали иначе. Им больше понравилась буква V. В германии вскоре распространилось обозначение V(2), V(3), что призвано было выражать корень квадратный из 2, 3 и так далее. Позднее в дело вмешались нидерландцы и видоизменили знак радикала. А завершил эволюцию Рене Декарт, доведя знак квадратного корня до современного совершенства.

Избавление от иррационального

Иррациональные уравнения и неравенства могут включать в себя переменную не только под знаком квадратного корня. Он может быть любой степени. Самым распространенным способом от него избавиться является возможность возвести обе части равенства в соответствующую степень. Это основное действие, помогающее при операциях с иррациональным. Действия в четных случаях особенно не отличаются от тех, которые были уже разобраны нами ранее. Здесь должны быть учтены условия неотрицательности подкоренного выражения, а также по окончании решения необходимо производить отсев посторонних значений переменных таким образом, как было показано в рассмотренных уже примерах.

Из дополнительных преобразований, помогающих найти правильный ответ, часто используется умножение выражения на сопряженное, а также нередко требуется введение новой переменной, что облегчает решение. В некоторых случаях, чтобы отыскать значение неизвестных, целесообразно применять графики.