Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно. Что такое угол. Понятие угла: радиан, градус

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Связь между градусами и радианами

Чтобы установить связь между градусами и радианами, необходимо узнать градусную и радианную меру какого-либо угла. Например, возьмем центральный угол, который опирается на диаметр окружности радиуса r. Чтобы вычислить радианную меру этого угла необходимо длину дуги разделить на длину радиуса окружности. Рассматриваемому углу соответствует длина дуги, равная половине длины окружности π · r . Разделим длину дуги на радиус и получим радианную меру угла: π · r r = π рад.

Итак, рассматриваемый угол равен π радиан. С другой стороны, это развернутый угол, равный 180 ° . Следовательно 180 ° = π рад.

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой

π радиан = 180 °

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

1 р а д = 180 π ° - градусная мера угла в 1 радиан равна 180 π .

Также можно выразить один градус в радианах.

1 ° = π 180 р а д

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

1 р а д = 180 π ° = 180 3 , 1416 ° = 57 , 2956 °

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

1 ° = π 180 р а д = 3 , 1416 180 р а д = 0 , 0175 р а д

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

x р а д = х · 180 π °

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Рассмотрим пример.

Пример 1. Перевод из радианов в градусы

Пусть α = 3 , 2 рад. Нужно узнать градусную меру этого угла.

Таблица значений тригонометрических функций

Примечание . В данной таблице значений тригонометрических функций используется знак √ для обозначения квадратного корня. Для обозначения дроби - символ "/".

См. также полезные материалы:

Для определения значения тригонометрической функции , найдите его на пересечении строки с указанием тригонометрической функции. Например, синус 30 градусов - ищем колонку с заголовком sin (синус) и находим пересечение этой колонки таблицы со строкой "30 градусов", на их пересечении считываем результат - одна вторая. Аналогично находим косинус 60 градусов, синус 60 градусов (еще раз, в пересечении колонки sin (синус) и строки 60 градусов находим значение sin 60 = √3/2) и т.д. Точно так же находятся значения синусов, косинусов и тангенсов других "популярных" углов.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и других углов в радианах

Приведенная ниже таблица косинусов, синусов и тангенсов также подходит для нахождения значения тригонометрических функций, аргумент которых задан в радианах . Для этого воспользуйтесь второй колонкой значений угла. Благодаря этому можно перевести значение популярных углов из градусов в радианы. Например, найдем угол 60 градусов в первой строке и под ним прочитаем его значение в радианах. 60 градусов равно π/3 радиан.

Число пи однозначно выражает зависимость длины окружности от градусной меры угла. Таким образом, пи радиан равны 180 градусам.

Любое число, выраженное через пи (радиан) можно легко перевести в градусную меру, заменив число пи (π) на 180 .

Примеры :
1. Синус пи .
sin π = sin 180 = 0
таким образом, синус пи - это тоже самое, что синус 180 градусов и он равен нулю.

2. Косинус пи .
cos π = cos 180 = -1
таким образом, косинус пи - это тоже самое, что косинус 180 градусов и он равен минус единице.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
таким образом, тангенс пи - это тоже самое, что тангенс 180 градусов и он равен нулю.

Таблица значений синуса, косинуса, тангенса для углов 0 - 360 градусов (часто встречающиеся значения)

Если в таблице значений тригонометрических функций вместо значения функции указан прочерк (тангенс (tg) 90 градусов, котангенс (ctg) 180 градусов) значит при данном значении градусной меры угла функция не имеет определенного значения. Если же прочерка нет - клетка пуста, значит мы еще не внесли нужное значение. Мы интересуемся, по каким запросам к нам приходят пользователи и дополняем таблицу новыми значениями, несмотря на то, что текущих данных о значениях косинусов, синусов и тангенсов самых часто встречающихся значений углов вполне достаточно для решения большинства задач.

Таблица значений тригонометрических функций sin, cos, tg для наиболее популярных углов
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градусов
(цифровые значения "как по таблицам Брадиса")

Конвертер длины и расстояния Конвертер массы Конвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питания Конвертер площади Конвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептах Конвертер температуры Конвертер давления, механического напряжения, модуля Юнга Конвертер энергии и работы Конвертер мощности Конвертер силы Конвертер времени Конвертер линейной скорости Плоский угол Конвертер тепловой эффективности и топливной экономичности Конвертер чисел в различных системах счисления Конвертер единиц измерения количества информации Курсы валют Размеры женской одежды и обуви Размеры мужской одежды и обуви Конвертер угловой скорости и частоты вращения Конвертер ускорения Конвертер углового ускорения Конвертер плотности Конвертер удельного объема Конвертер момента инерции Конвертер момента силы Конвертер вращающего момента Конвертер удельной теплоты сгорания (по массе) Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему) Конвертер разности температур Конвертер коэффициента теплового расширения Конвертер термического сопротивления Конвертер удельной теплопроводности Конвертер удельной теплоёмкости Конвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излучения Конвертер плотности теплового потока Конвертер коэффициента теплоотдачи Конвертер объёмного расхода Конвертер массового расхода Конвертер молярного расхода Конвертер плотности потока массы Конвертер молярной концентрации Конвертер массовой концентрации в растворе Конвертер динамической (абсолютной) вязкости Конвертер кинематической вязкости Конвертер поверхностного натяжения Конвертер паропроницаемости Конвертер паропроницаемости и скорости переноса пара Конвертер уровня звука Конвертер чувствительности микрофонов Конвертер уровня звукового давления (SPL) Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давления Конвертер яркости Конвертер силы света Конвертер освещённости Конвертер разрешения в компьютерной графике Конвертер частоты и длины волны Оптическая сила в диоптриях и фокусное расстояние Оптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×) Конвертер электрического заряда Конвертер линейной плотности заряда Конвертер поверхностной плотности заряда Конвертер объемной плотности заряда Конвертер электрического тока Конвертер линейной плотности тока Конвертер поверхностной плотности тока Конвертер напряжённости электрического поля Конвертер электростатического потенциала и напряжения Конвертер электрического сопротивления Конвертер удельного электрического сопротивления Конвертер электрической проводимости Конвертер удельной электрической проводимости Электрическая емкость Конвертер индуктивности Конвертер Американского калибра проводов Уровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицах Конвертер магнитодвижущей силы Конвертер напряженности магнитного поля Конвертер магнитного потока Конвертер магнитной индукции Радиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излучения Радиоактивность. Конвертер радиоактивного распада Радиация. Конвертер экспозиционной дозы Радиация. Конвертер поглощённой дозы Конвертер десятичных приставок Передача данных Конвертер единиц типографики и обработки изображений Конвертер единиц измерения объема лесоматериалов Вычисление молярной массы Периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

1 радиан [рад] = 57,2957795130823 градус [°]

Исходная величина

Преобразованная величина

градус радиан град гон минута секунда зодиакальный сектор тысячная оборот окружность оборот квадрант прямой угол секстант

Электрическая проводимость

Подробнее об углах

Общие сведения

Плоский угол - геометрическая фигура образованная двумя пересекающимися линиями. Плоский угол состоит из двух лучей с общим началом, и эта точка называется вершиной луча. Лучи называются сторонами угла. У углов много интересных свойств, например, сумма всех углов в параллелограмме - 360°, а в треугольнике - 180°.

Виды углов

Прямые углы равны 90°, острые - меньше 90°, а тупые - наоборот, больше 90°. Углы, равные 180° называются развернутыми , углы в 360° называются полными , а углы больше развернутых но меньше полных называются невыпуклыми . Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными смежными , а если же до 360° - то сопряженными

Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными . Если они дополняют друг друга до 180°, они называются смежными , а если же до 360° - то сопряженными . В многоугольниках углы внутри многоугольника называются внутренними, а сопряженные с ними - внешними.

Два угла, образованные при пересечении двух прямых и не являющихся смежными, называются вертикальными . Они равны.

Измерение углов

Углы измеряют с помощью транспортира или вычисляют по формуле, измерив стороны угла от вершины и до дуги, и длину дуги, которая эти стороны ограничивает. Углы обычно измеряют в радианах и градусах, хотя существуют и другие единицы.

Можно измерять как углы, образованные между двумя прямыми, так и между кривыми линиями. Для измерения между кривыми используют касательные в точке пересечения кривых, то есть в вершине угла.

Транспортир

Транспортир - инструмент для измерения углов. Большинство транспортиров имеют форму полукруга или окружности и позволяют измерить углы до 180° и до 360° соответственно. В некоторых транспортирах встроена дополнительная вращающаяся линейка для удобства в измерении. Шкалы на транспортирах наносят чаще в градусах, хотя иногда они бывают и в радианах. Транспортиры чаще всего используют в школе на уроках геометрии, но их также применяют в архитектуре и в технике, в частности в инструментальном производстве.

Использование углов в архитектуре и искусстве

Художники, дизайнеры, мастера и архитекторы издавна используют углы для создания иллюзий, акцентов и других эффектов. Чередование острых и тупых углов или геометрические узоры из острых углов часто используются в архитектуре, мозаике и витражах, например в строении готических соборов и в исламской мозаике.

Одна из известных форм исламского изобразительного искусства - украшение с помощью геометрического орнамента гирих. Этот рисунок применяют в мозаике, резьбе по металлу и дереву, на бумаге и на ткани. Рисунок создается с помощью чередования геометрических фигур. Традиционно используют пять фигур со строго определенными углами из комбинаций в 72°, 108°, 144° и 216°. Все эти углы делятся на 36°. Каждая фигура разделена линиями на несколько более маленьких симметричных фигур, чтобы создать более тонкий рисунок. Изначально гирихом назывались сами эти фигуры или кусочки для мозаики, отсюда и пошло название всего стиля. В Марокко существует похожий геометрический стиль мозаики, зулляйдж или зилидж. Форма терракотовых изразцов, из которых складывают эту мозаику, не соблюдается так строго, как в гирихе, и изразцы часто более причудливой формы, чем строгие геометрические фигуры в гирихе. Несмотря на это, мастера зулляйджа также используют углы для создания контрастных и причудливых узоров.

В исламском изобразительном искусстве и архитектуре часто используется руб аль-хизб - символ в форме одного квадрата, наложенного на другой под углом в 45°, как на иллюстрациях. Он может быть изображен как сплошная фигура, или в виде линий - в этом случае этот символ называется звездой Al-Quds (аль кудс). Руб аль-хизб иногда украшают небольшими кругами на пересечении квадратов. Этот символ используют в гербах и на флагах мусульманских стран, например на гербе Узбекистана и на флаге Азербайджана. Основания самых высоких в мире на момент написания (весна 2013) башен близнецов, башен Петро́нас построены в форме руб аль-хизба. Эти башни находятся в Куала-Лумпуре в Малайзии и в их проектировании участвовал премьер-министр страны.

Острые углы часто используют в архитектуре как декоративные элементы. Они придают зданию строгую элегантность. Тупые углы, наоборот, придают зданиям уютный вид. Так, например, мы восхищаемся готическими соборами и замками, но они выглядят немного печально и даже устрашающе. А вот дом себе мы скорее всего выберем с крышей с тупыми углами между скатами. Углы в архитектуре также используют для укрепления разных частей здания. Архитекторы проектируют форму, размер и угол наклона в зависимости от нагрузки на стены, нуждающиеся в укреплении. Этот принцип укрепления с помощью наклона использовали еще с древних времен. Например, античные строители научились строить арки без цемента и иных связующих материалов, укладывая камни под определенным углом.

Обычно здания строят вертикально, но иногда бывают исключения. Некоторые здания специально строят с наклоном, а некоторые наклоняются из-за ошибок. Один из примеров наклонных зданий - Тадж-Махал в Индии. Четыре минарета, которые окружают главное строение, построены с наклоном от центра, чтобы в случае землетрясения они упали не вовнутрь, на мавзолей, а в другую сторону, и не повредили основное здание. Иногда здания строят под углом к земле в декоративных целях. Например, Падающая башня Абу-Даби или Capital Gate наклонена на 18° к западу. А одно из зданий в Мире Головоломок Стюарта Лэндсборо в городе Ванка в Новой Зеландии наклоняется к земле на 53°. Это здание так и называется, «Падающая башня».

Иногда наклон здания - результат ошибки в проектировании, как например наклон Пизанской башни. Строители не учли структуру и качество почвы, на которой ее возводили. Башня должна была стоять прямо, но плохой фундамент не смог поддерживать ее вес и здание осело, покосившись на один бок. Башню много раз реставрировали; самая последняя реставрация в 20-м веке остановила ее постепенное оседание и увеличивающийся наклон. Ее удалось выровнять с 5.5°до 4°. Башня церкви СуурХусен в Германии тоже наклонена из-за того, что ее деревянный фундамент прогнил с одной стороны после осушения болотистой почвы, на которой она построена. На данный момент эта башня наклонена больше, чем Пизанская - примерно на 5°.

Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.

Давай посмотрим на рисунке. Вектор \(AB \) «повернулся» относительно точки \(A \) на некую величину. Так вот мерой этого поворота относительно начального положения и будет выступать угол \(\alpha \) .

Что же ещё необходимо знать о понятии угла? Ну, конечно же, единицы измерения угла!

Угол, как в геометрии, так и в тригонометрии, может измеряться в градусах и радианах.

Углом в \(1{}^\circ \) (один градус) называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную \(\dfrac{1}{360} \) части окружности.

Таким образом, вся окружность состоит из \(360 \) «кусочков» круговых дуг, или угол, описываемый окружностью, равен \(360{}^\circ \) .

То есть на рисунке выше изображён угол \(\beta \) , равный \(50{}^\circ \) , то есть этот угол опирается на круговую дугу размером \(\dfrac{50}{360} \) длины окружности.

Углом в \(1 \) радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Итак, на рисунке изображён угол \(\gamma \) , равный \(1 \) радиану, то есть этот угол опирается на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности (длина \(AB \) равна длине \(BB" \) или радиус \(r \) равен длине дуги \(l \) ). Таким образом, длина дуги вычисляется по формуле:

\(l=\theta \cdot r \) , где \(\theta \) - центральный угол в радианах.

Ну что, можешь, зная это, ответить, сколько радиан содержит угол, описываемый окружностью? Да, для этого надо вспомнить формулу длины окружности. Вот она:

\(L=2\pi \cdot r \)

Ну вот, теперь соотнесём эти две формулы и получим, что угол, описываемый окружностью равен \(2\pi \) . То есть, соотнеся величину в градусах и радианах, получаем, что \(2\pi =360{}^\circ \) . Соответственно, \(\pi =180{}^\circ \) . Как можно заметить, в отличие от «градусов», слово «радиан» опускается, так как единица измерения обычно ясна из контекста.