Корень lnx производная. Производная сложной функции. Производные высших порядков от e в степени x
Представлен вывод производных первого порядка арктангенса (arctg x)′ и арккотангенса (arcctg x)′. Для каждой из функций, вывод дан двумя способами.
СодержаниеСм. также: Арктангенс, арккотангенс - свойства, графики, формулы
Вывод производной арктангенса
Здесь мы полагаем, что нам известна производная тангенса:
.
Далее мы выводим формулу производной арктангенса, учитывая, что арктангенс является функцией, обратной к тангенсу.
Рассмотрим функцию арктангенс :
y = arctg
x
.
.
- π/2
до + π/2
:
.
Арктангенс является функцией, обратной к тангенсу:
x = tg
y
.
(1)
.
Производная тангенса нам известна:
.
Здесь .
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2)
.
Здесь
y = arctg
x
;
x = tg
y
.
Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x
.
Для этого воспользуемся формулой и выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (2):
.
Тем самым мы вывели формулу производной арктангенса:
.
Второй способ
Поскольку арктангенс и тангенс являются взаимно обратными функциями, то
(3)
.
Продифференцируем это уравнение по переменной x
.
То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4)
.
Из таблицы производных имеем:
.
:
.
Здесь .
.
Тогда
.
Подставим в (4):
.
Отсюда
.
Вывод производной арккотангенса
Используя связь между арктангенсом и арккотангенсом
Производную арккотангенса можно получить из производной арктангенса, если воспользоваться связью между арктангенсом и арккотангенсом :
.
Отсюда
.
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арккотангенс :
y = arcctg
x
.
Здесь независимая переменная x
может принимать любые действительные значения:
.
Зависимая переменная y
может принимать значения от 0
до π
:
.
Арккотангенс является функцией, обратной к котангенсу:
x = ctg
y
.
Для определения его производной, применим формулу производной обратной функции:
(1)
.
Считаем, что производная котангенса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x
и y
.
Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5)
.
Здесь
y = arcctg
x
;
x = ctg
y
.
Выразим правую часть формулы (5) через переменную x
.
Для этого выполним преобразования:
.
Отсюда
.
Подставим в (5):
.
Таким образом, мы вывели формулу производной арккотангенса:
.
Второй способ
Поскольку арккотангенс и котангенс являются взаимно обратными функциями, то
(6)
.
Продифференцируем это уравнение по переменной x
:
(7)
.
Из таблицы производных находим:
.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции :
.
Здесь .
Далее выполним преобразования:
.
Тогда
.
Подставим в (7):
.
Отсюда
.
Вычисление производной часто встречается в заданиях ЕГЭ. Данная страница содержит список формул для нахождения производных.
Правила дифференцирования
- (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Производная сложной функции. Если y=F(u), а u=u(x), то функция y=f(x)=F(u(x)) называется сложной функцией от x. Равна y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Производная неявной функции. Функция y=f(x) называется неявной функцией, заданной соотношением F(x,y)=0, если F(x,f(x))≡0.
- Производная обратной функции. Если g(f(x))=x, то функция g(x) называется обратной функцией для функции y=f(x).
- Производная параметрически заданной функции. Пусть x и y заданы как функции от переменной t: x=x(t), y=y(t). Говорят, что y=y(x) параметрически заданная функция на промежутке x∈ (a;b), если на этом промежутке уравнение x=x(t) можно выразить в виде t=t(x) и определить функцию y=y(t(x))=y(x).
- Производная степенно-показательной функции. Находится путем логарифмирования по основанию натурального логарифма.
Представлено доказательство и вывод формулы для производной косинуса - cos(x). Примеры вычисления производных от cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадрате, в кубе и в степени n. Формула производной косинуса n-го порядка.
СодержаниеСм. также: Синус и косинус - свойства, графики, формулы
Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
(cos
x)′ = - sin
x
.
Доказательство
Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1)
Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(1)
;
2)
Свойство непрерывности функции синус:
(2)
;
3)
Значение первого замечательного предела:
(3)
;
4)
Свойство предела от произведения двух функций:
Если и ,
то
(4)
.
Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1)
;
В нашем случае
;
.
Тогда
;
;
;
.
Сделаем подстановку .
При ,
.
Используем свойство непрерывности (2):
.
Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Тем самым мы получили формулу производной косинуса.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2
x
;
y = cos 3
x
и y = cos n
x
.
Пример 1
Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx .
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .
Итак, находим производную от функции
y = cos nx
.
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)
2)
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем .
.
Подставим :
(П1)
.
Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.
;
;
.
Пример 2
Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2
x
;
y = cos 3
x
;
y = cos n
x
.
В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции - косинуса в степени n:
y = cos n
x
.
Затем подставим n = 2
и n = 3
. И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.
Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)
Функции ,
зависящей от переменной :
;
2)
Функции ,
зависящей от переменной :
.
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.
Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции .
.
Подставим :
(П2)
.
Теперь подставим и :
;
.
;
;
.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от cos x
первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :
.
Здесь .
Заметим, что дифференцирование cos x
приводит к увеличению его аргумента на .
Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5)
.
Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса ”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.
См. также:И теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:
Пусть 1) функция $u=\varphi (x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}"=\varphi"(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=\varphi (x_0)$ производную $y_{u}"=f"(u)$. Тогда сложная функция $y=f\left(\varphi (x) \right)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $\varphi (x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_{u}"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
или, в более короткой записи: $y_{x}"=y_{u}"\cdot u_{x}"$.
В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y"$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y"$ пишут $y"_x$.
В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.
Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.
Пример №1
Найти производную функции $y=e^{\cos x}$.
Нам нужно найти производную сложной функции $y"$. Так как $y=e^{\cos x}$, то $y"=\left(e^{\cos x}\right)"$. Чтобы найти производную $\left(e^{\cos x}\right)"$ используем формулу №6 из таблицы производных . Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае $u=\cos x$. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения $\cos x$ вместо $u$:
$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)" \tag {1.1}$$
Теперь нужно найти значение выражения $(\cos x)"$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя $u=x$ в формулу №10, имеем: $(\cos x)"=-\sin x\cdot x"$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:
$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x") \tag {1.2} $$
Так как $x"=1$, то продолжим равенство (1.2):
$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x")=e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^{\cos x} \tag {1.3} $$
Итак, из равенства (1.3) имеем: $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, - как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.
Ответ : $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$.
Пример №2
Найти производную функции $y=9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x)$.
Нам необходимо вычислить производную $y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)" \tag {2.1} $$
Теперь обратимся к выражению $\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{12}\right)"$. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. В эту формулу подставим $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$:
Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag {2.2} $$
В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу $(\arctg \; u)"=\frac{1}{1+u^2}\cdot u"$ вместо формулы $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции. Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$, представьте, что вы считаете значение выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$ при каком-то значении $x$. Сначала вы посчитаете значение $5^x$, потом умножите результат на 4, получив $4\cdot 5^x$. Теперь от этого результата берём арктангенс, получив $\arctg(4\cdot 5^x)$. Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$. Последнее действие, - т.е. возведение в степень 12, - и будет внешней функцией. И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).
Теперь нужно найти $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4\cdot \ln x$:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Немного упростим полученное выражение, учитывая $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Равенство (2.2) теперь станет таким:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)" \tag {2.3} $$
Осталось найти $(4\cdot \ln x)"$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. Для того, чтобы найти $(\ln x)"$ используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}$. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)"=\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot 4\cdot \frac{1}{x}=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}. $$
Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, - как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.
Ответ : $y"=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}$.
Пример №3
Найти $y"$ функции $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}$.
Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$, то:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)" \tag {3.1} $$
Используем формулу №2 из таблицы производных , подставив в неё $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac{3}{7}$:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}-1} (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" \tag {3.2} $$
Теперь нужно найти $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5\cdot 9^x$:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" \tag {3.3} $$
Осталось найти $(5\cdot 9^x)"$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x)"$. Для нахождения производной $(9^x)"$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}$ в виде $\frac{1}{\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{4}{7}}}=\frac{1}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:
$$ y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}. $$
Ответ : $y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$.
Пример №4
Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.
В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^\alpha$. Подставляя $\alpha=-1$ в формулу №2, получим:
$$(u^{-1})"=-1\cdot u^{-1-1}\cdot u"=-u^{-2}\cdot u"\tag {4.1}$$
Так как $u^{-1}=\frac{1}{u}$ и $u^{-2}=\frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $\left(\frac{1}{u} \right)"=-\frac{1}{u^2}\cdot u"$. Это и есть формула №3 таблицы производных.
Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $\alpha=\frac{1}{2}$:
$$\left(u^{\frac{1}{2}}\right)"=\frac{1}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}-1}\cdot u"=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u"\tag {4.2} $$
Так как $u^{\frac{1}{2}}=\sqrt{u}$ и $u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:
$$ (\sqrt{u})"=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot u"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u" $$
Полученное равенство $(\sqrt{u})"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u"$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $\alpha$.