Понятие о фрактальной размерности. В мире фракталов: Фракталы в математике Треугольник серпинского алгоритм построения

Л
оманной линии:

N– количество отрезков, размерома.

D – «степень изгибания»

N=(1/a)D; S=N*a ; S=(1/a)D-1

К
ривая Коха

2) N=4L=1/3S(4)=4/3

N=16 L=1/9S(16)=16/9

Фрактальная размерность:

D=lg4 /lg3=1.26…

Фрактальная размерность множества

Объем фрактала в своем пространстве вложения всегда равен нулю. Он, однако, может быть отличен от нуля в пространстве меньшей размерности. Чтобы определить размерность этого пространстваD , разобьем всеn -мерное пространство на малые кубики с длиной ребраε и объемомε n - рис.1. ПустьN (ε ) - минимальное число кубиков, которые в совокупности полностью покрывают фрактальное множество, тогда по определению

Существование этого предела означает конечность объема фрактала в D -мерном пространстве: при маломε

и в отличие от привычной размерности D может быть дробной величиной, каковой она чаще всего и является для фрактальных множеств.

Очевидно, что для обычных множеств это определение приводит к хорошо известным результатам. Так для множества N изолированных точек имеемN (ε ) =N и поэтому

Для отрезка достаточно гладкой линии длины L :N (ε ) =L /ε и поэтомуD = 1. Для площадкиS двумерной поверхности:N (ε ) =S /ε 2 иD = 2 и т.д..

Рекурсивный алгоритм построения конструктивных фракталов.

1. Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского - фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение

Берётся сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется внутренность срединного треугольника. На втором шаге удаляется три срединных треугольника из трёх оставшихся треугольников и т. д. После бесконечного повторения этой процедуры, от сплошного треугольника остаётся подмножество - треугольник Серпинского.

Построение треугольника Серпинского

Треугольник Серпинского можно также получить по следующему алгоритму:

Взять три точки на плоскости, и нарисовать треугольник.

Случайно выбрать любую точку внутри треугольника, и продвинуться на половину расстояния от этой точки к любой из трёх вершин треугольника.

Отметить текущую позицию.

Повторить с шага 2.

В Викисловаре есть статья «треугольник» Треугольник в широком смысле объект треугольной формы, либо тройка объектов, попарно связ … Википедия

Построение треугольника Рёло Треугольник Рёло[* 1] предста … Википедия

Треугольник Серпинского Треугольник Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского. Построение Берётся сплошной… … Википедия

Ковёр (квадрат) Серпинского Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вац … Википедия

Коврик Серпинского Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

Ковёр Серпинского фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского. Содержание 1 Построение … Википедия

Треугольник Серпинского изображение, задаваемое тремя аффинными преобразованиями Фрактальное сжатие изображений это алгоритм сжатия изображений c потерями, основанный на применении систем итерируемых функций (IFS, как правило являющимися… … Википедия

Треугольник Серпинского изображение, задаваемое тремя аффинными преобразованиями Фрактальное сжатие изображений алгоритм сжатия изображений c … Википедия

Множество Мандельброта классический образец фрактала … Википедия

Множество Мандельброта классический образец фрактала Фрактал (лат. fractus дробленый) термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре… … Википедия

Книги

• Математика - это красиво! , Анна Вельтман. О чем эта книга Эта необычная тетрадь покажет вам, что математика может быть красивой, а гармония в изобразительном искусстве основана на числах. На страницах этойграфической тетради, с…
• Сложение однобитных чисел. Треугольник Паскаля, салфетка Серпинского и теорема Куммера , С. Б. Гашков. В книге рассказывается о любопытной связи задачи о сложении чисел в двоичной записи с алгеброй логики, многочленами Жегалкина, треугольником Паскаля, салфеткой Серпинского и теоремой Куммера…

Треугольник Серпинского - фрактал , один из двумерных аналогов множества Кантора , предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году . Также известен как «салфетка» Серпинского.

Треугольник Серпинского

Построение

Итеративный метод

Построение треугольника Серпинского

Середины сторон равностороннего треугольника соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника . Получается множество T 1 {\displaystyle T_{1}} , состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество T 2 {\displaystyle T_{2}} , состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность T 0 ⊃ T 1 ⊃ ⋯ ⊃ T n ⊃ … {\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset \dots \supset T_{n}\supset \dots } , пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаоса

Свойства

Построение итеративным методом

Построение методом хаоса

Примечания

Ссылки

L-система или система Линденмайера - это параллельная система переписывания и вид формальной грамматики. L-система состоит из алфавита символов, которые могут быть использованы для создания строк, набора порождающих правил, которые задают правила подстановки вместо каждого символа, начальной строки («аксиомы»), с которой начинается построение, и механизма перевода образованной строки в геометрические структуры. L-системы предложил и развивал в 1968 Аристид Линденмайер, венгерский биолог и ботаник из Утрехтского университета. Линденмайер использовал L-системы для описания поведения клеток растений и моделирования процесса развития растения. L-системы использовались также для моделирования морфологии различных организмов и могут быть использованы для генерации самоподобных фракталов, таких как системы итерируемых функций.

Racket (ранее - PLTScheme) - мультипарадигменный язык программирования общего назначения, принадлежащий семейству Lisp/Scheme. Предоставляет среду языково-ориентированное программирование - одно из предназначений racket - создание, разработка и реализация языков программирования. Язык используется в различных контекстах: как скриптовый язык, как язык общего назначения, в обучении информатике, в научных исследованиях.

Платформа предоставляет пользователю реализацию языка Racket, включая развитую среду выполнения (англ. run time system), различные библиотеки, JIT-компилятор и т. д., а также среду разработки DrRacket (ранее известную, как DrScheme) написанную на Racket. Эта программная среда используется в учебном курсе ProgramByDesign массачусетского технологического института. Основной язык Racket отличает мощная макросистема, позволяющая создавать встраиваемые и предметно-ориентированные языки программирования, языковые конструкции (к примеру, классы и модули) и диалекты Racket с различной семантикой.

Система является свободным и открытым ПО, распространяемым на условиях LGPL. Расширения и пакеты, написанные сообществом, доступны на PLaneT, веб-дистрибутиве системы.

Фрактальное сжатие изображений - алгоритм сжатия изображений c потерями, основанный на применении систем итерируемых функций (как правило являющимися аффинными преобразованиями) к изображениям. Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия при приемлемом визуальном качестве для реальных фотографий природных объектов. Из-за сложной ситуации с патентованием широкого распространения алгоритм не получил.

Делящаяся плитка (англ. rep-tile) - понятие геометрии мозаик, фигура, которую можно разрезать на меньшие копии самой фигуры. В 2012 обобщение делящихся мозаик с названием self-tiling tile set (набор плиток с самозамощением) было предложено английским математиком Ли Сэлоусом в журнале Mathematics Magazine .

В математике конечное правило подразделения - это рекурсивный способ деления многоугольника и других двумерных фигур на всё меньшие и меньшие части. Правила подразделения в этом смысле является обобщением фракталов. Вместо повторения одного и того же узора снова и снова здесь имеются небольшие изменения на каждом шаге, что позволяет получить более богатые структуры, сохраняя при этом поддержку элегантного стиля фракталов. Правила подразделения используются в архитектуре, биологии и информатике, а также при изучении гиперболических многообразий. Подстановки плиток являются хорошо изученным видом правил подразделения.

Крива́я Пеа́но - общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства). Другое название - заполняющая пространство кривая.

Названа в честь Джузеппе Пеано (1858-1932), первооткрывателя такого рода кривых, в частном смысле кривой Пеано называется конкретная кривая, которую нашёл Пеано.

Кривые Серпинского - это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых, открытых Вацлавом Серпинским. Кривая в пределе при полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского , является примером заполняющих пространство кривых.

Поскольку кривая Серпинского заполняет пространство, её размерность Хаусдорфа (в пределе при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } ) равна 2 {\displaystyle 2} .
Евклидова длина кривой

т. е. она растёт экпоненциально по n {\displaystyle n} , а предел при n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } площади области, заключённой кривой S n {\displaystyle S_{n}} , составляет 5 / 12 {\displaystyle 5/12} квадрата (в Евклидовой метрике).

Логари́фм числа b {\displaystyle b} по основанию a {\displaystyle a} (от др.-греч. λόγος «слово; отношение» + ἀριθμός «число») определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a {\displaystyle a} , чтобы получить число b {\displaystyle b} . Обозначение: log a ⁡ b {\displaystyle \log _{a}b} , произносится: «логарифм b {\displaystyle b} по основанию a {\displaystyle a} ».

Из определения следует, что нахождение x = log a ⁡ b {\displaystyle x=\log _{a}b} равносильно решению уравнения a x = b {\displaystyle a^{x}=b} . Например, log 2 ⁡ 8 = 3 {\displaystyle \log _{2}8=3} , потому что 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} .

Вычисление логарифма называется логарифми́рованием . Числа a , b {\displaystyle a,b} чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов .

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление - на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь».

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Со временем выяснилось, что логарифмическая функция y = log a ⁡ x {\displaystyle y=\log _{a}x} незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями 2 {\displaystyle 2} (двоичный), e {\displaystyle e} (натуральный логарифм) и 10 {\displaystyle 10} (десятичный).

Нанотехнологии на основе ДНК (англ. DNA nanotechnology) - разработка и производство искусственных структур из нуклеиновых кислот для технологического использования. В этой научной области нуклеиновые кислоты используются не как носители генетической информации в живых клетках, а в качестве материала для нужд небиологической инженерии наноматериалов.

В технологии используются строгие правила спаривания оснований нуклеиновых кислот, которые для формирования прочной жесткой структуры двойной спирали допускают только связывание вместе частей нитей с комплементарными последовательностями оснований. Исходя из этих правил, появляется возможность инженерного проектирования последовательности оснований, которая будет выборочной сборкой образовывать сложные целевые структуры с точно настроенными наноразмерными формами и свойствами. В основном, для создания материалов используется ДНК, однако были построены и структуры с включением других нуклеиновых кислот, таких как РНК и пептидо-нуклеиновые кислоты (ПНК), позволяя использовать для описания поля технологий название «нанотехнологии на основе нуклеотидных оснований» .

Основная концепция нанотехнологий на основе ДНК была впервые предложена в начале 1980-х годов Надрианом Симэном, и в середине 2000-х годов это поле для исследований начало привлекать широкий интерес. Исследователи, работающие в новой появляющейся области технологий, создали статические структуры, такие как двух- и трёхмерные кристаллические решётки, нанотрубки, многогранники и другие произвольные формы, а также - функциональные структуры, такие как молекулярные машины и ДНК-компьютеры.

Для сборки этих структур используется множество методов, включая плиточное структурирование, где плитки собираются из более мелких структур, складывающиеся структуры, создаваемые с помощью метода ДНК-оригами, и динамически перестраиваемые структуры, создаваемые с использованием методов перемещения пряди. Исследовательское поле начинает использоваться в качестве инструмента для решения проблем фундаментальной науки в областях структурной биологии и биофизики, включая прикладные задачи кристаллографии и спектроскопии для определения структуры белка. Также ведутся изыскания для потенциального применения в масштабируемой молекулярной электронике и наномедицине.

Натуральный логарифм - это логарифм по основанию e , где e {\displaystyle e} - иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} , log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}x} или иногда просто log ⁡ x {\displaystyle \log x} , если основание e {\displaystyle e} подразумевается. Обычно число x {\displaystyle x} под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для экспоненты y = e x {\displaystyle y=e^{x}} , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок справа). Как и экспонента, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени, они незаменимы в математическом анализе. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.

Размерность Лебега или топологическая размерность - размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X {\displaystyle X} обычно обозначается dim ⁡ X {\displaystyle \dim X} .

Реку́рсия - определение, описание, изображение какого-либо объекта или процесса внутри самого этого объекта или процесса, то есть ситуация, когда объект является частью самого себя. Термин «рекурсия» используется в различных специальных областях знаний - от лингвистики до логики, но наиболее широкое применение находит в математике и информатике.

Ва́цлав Франци́ск Серпи́нский, в другой транскрипции - Серпиньский (польск. Wacław Franciszek Sierpiński; 14 марта 1882, Варшава - 21 октября 1969, там же) - польский математик и педагог, известен трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор 724 статей и 50 книг.

Тетраэдр (нем. Tetraeder) - стальная конструкция в виде тетраэдра с длиной ребра 60 м, опирающаяся на четыре 9-метровых бетонных опоры, используемая в качестве смотровой площадки, в городе Ботроп (федеральная земля Северный Рейн - Вестфалия). Тетраэдр расположен на вершине террикона Бекштрассе (нем. Beckstraße) шахты Проспер-Ганиэль (de: Bergwerk Prosper-Haniel) на высоте 105 м над уровнем моря. С верхней смотровой площадки открываются виды городов Боттроп, Эссен, Оберхаузен, Гладбек. При хорошей видимости дальность обзора достигает 40 км и позволяет различить даже телевизионную башню Rheinturm в Дюссельдорфе.

Ботропский Тетраэдр является тематическим пунктом регионального проекта «Путь индустриальной культуры» Рурского региона.

Треугольник Паскаля - бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.

Фракта́л (лат. fractus - дроблёный, сломанный, разбитый) - множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора). Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

Является самоподобным или приближённо самоподобным.

Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, система кровообращения, альвеолы.

Фракта́льная разме́рность (англ. fractal dimension ) - один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве. Фрактальную размерность n -мерного множества можно определить с помощью формулы:

Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение.

Основная идея «дробной» (англ. fractured ) размерности имеет долгую историю в области математики, но именно сам термин введён в оборот Бенуа Мандельбротом в 1967 году в его статье о самоподобии, в которой он описал «дробную» (англ. fractional ) размерность. В этой статье Мандельброт ссылался на предыдущую работу Льюиса Фрайя Ричардсона, описывающую противоречащую здравому смыслу идею о том, что измеренная длина береговой линии зависит от длины мерной палки (шеста) (см. Рис. 1). Следуя этому представлению, фрактальная размерность береговой линии соответствует отношению числа шестов (в определенном масштабе), нужных для измерения длины береговой линии, к выбранному масштабу шеста. Есть несколько формальных математических определений [⇨] фрактальной размерности, которые строятся на этой базовой концепции, об изменении в элементе с изменением в масштабе.

Одним из элементарных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха. Её топологическая размерность равна 1, но это ни в коем случае не спрямляемая кривая, поскольку длина кривой между любыми двумя точками снежинки Коха - бесконечность. Никакая сколько угодно малая часть кривой не является отрезком прямой. Скорее, снежинка Коха состоит из бесконечного числа сегментов, соединённых под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, предполагая, что фрактальная линия - это объект слишком детальный (подробный), чтобы быть одномерным, но недостаточно сложный, чтобы быть двумерным. Поэтому её размерность лучше описывать не обычной топологической размерностью 1, но её фрактальной размерностью, равной в этом случае числу, лежащему в интервале между 1 и 2.

Фрактальное искусство - форма алгоритмического искусства, созданная путем вычисления фрактальных объектов и представляющая результаты вычислений как неподвижные изображения, анимацию и автоматически создаваемые медиафайлы. Фрактальное искусство зародилось в середине 1980-х годов. Это жанр компьютерного искусства и цифрового искусства, которые являются частью нового медиа-искусства. Вместе с тем фрактальное искусство являться одним из направлений так называемого «научного искусства».

Фрактальное искусство редко создается вручную. Обычно оно создается косвенно при помощи программного обеспечения, генерирующего фракталы через три этапа: установка параметров соответствующего программного обеспечения фрактала; выполнение возможно длительных вычислений; и оценки продукта. В некоторых случаях другие графические программы используются для последующей обработки созданных изображений. Нефрактальные изображения также могут быть включены в произведение искусства. Множество Жюлиа и Множество Мандельброта рассматриваются как иконы фрактального искусства.

ФАКУЛЬТЕТ КИБЕРНЕТИКИ

Курсовая работа по материаловедению

«Фракталы»

Выполнили:

студенты гр. КС-71-10

Салтыков Егор

Лытенкова Дарья

Проверил:

Смирнов Александр Николаевич

1. Введение.

2. Определение фракталов.

3. Из истории изучения фракталов.

4. Классификация фракталов.

5. Геометрические фракталы.

6. Алгебраические фракталы.

7. Стохастические фракталы.

8. Фракталовые деревья.

9. Измерение тел.

10. Дробная размерность.

11. Практический расчет размерности.

12. Чем актуальны фракталы.

Введение

В данной курсовой работе рассматриваются основные вопросы, связанные с фракталами, такие как определение фракталов, их размерность, применение, а также история открытия.

В качестве примера приведен расчет размерности фрактала дистиллированной воды. При расчете был использован калькулятор размерности, так же приведены некоторые общие сведения о фракталах.

Фракталами называют бесконечно самоподобные фигуры, каждый фрагмент которых повторяется при уменьшении масштаба. Разветвления трубочек трахей, нейроны, сосудистая система человека, извилины берегов морей и озер, контуры деревьев - это все фракталы. Фракталы находят в местах таких малых, как клеточная мембрана, и таких огромных, как звездные галактики. Можно сказать, что фракталы – это уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира!

Из истории изучения фракталов

Термин «фрактал» был введен Б.Мандельбротом в 1975 г.. Согласно Мандельброту, фракталом (от лат. «fractus » - дробный, ломанный, разбитый) называется структура, состоящая из частей, подобных целому. Свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии. Термин самоподобие означает наличие тонкой, повторяющийся структуры, как на самых малых масштабах объекта, так и в макромасштабе.

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса – самые наглядные, потому что в них сразу видно самоподобие. Примерами таких фракталов служат: кривые Коха, Леви, Минковского, треугольник Серпинского, губка Менгера, дерево Пифагора (Рис.1) и др. С математической точки зрения, фрактал - это, прежде всего, множество с дробной (промежуточной, «не целой») размерностью. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая выходит за пределы одномерного пространства, вторгается за границы в двумерное пространство. Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха будет находиться между 1 и 2. Это, прежде всего, означает, что у фрактального объекта невозможно точно измерить его длину!

Существует множество классификаций фракталов. Принято различать регулярные и нерегулярные фракталы, из которых первые являются плодом воображения (математическая абстракция), подобным снежинке Коха или треугольнику Серпинского, а вторые - продуктом природы или деятельности человека. Нерегулярные фракталы (рис.2) в отличие от регулярных сохраняют способность к самоподобию в ограниченных пределах, определяемых реальными размерами системы.

Фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Можно до бесконечности приводить примеры фрактальных объектов в природе, - это и облака, и хлопья снега, и горы, и вспышка молнии, и наконец, цветная капуста. Фрактал как природный объект - это вечное непрерывное движение, новое становление и развитие.

Кроме того, фракталы находят применение в децентрализованных компьютерных сетях и «фрактальных антеннах». Весьма интересны и перспективны для моделирования различных стохастических (не детерминированных) «случайных» процессов, так называемые «броуновские фракталы». В случае нанотехнологии фракталы тоже играют важную роль, поскольку из-за своей иерархической самоорганизации многие наносистемы обладают нецелочисленной размерностью, то есть являются по своей геометрической, физико-химической или функциональной природе фракталами. Например, ярким примером химических фрактальных систем являются молекулы «дендримеров» . Кроме того, принцип фрактальности (самоподобной, скейлинговой структуры) является отражением иерархичности строения системы и поэтому является более общим и универсальным, чем стандартные подходы к описанию строения и свойств наносистем.

Классификация фракталов

Алгебраические фракталы

Множество Мандельброта

Множество Жюлиа

Бассейны (фракталы) Ньютона

Биоморфы

Треугольники Серпинского

Геометрические фракталы

Кривая Коха (снежинка Коха)

Кривая Леви

Кривая Гильберта

Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя)

Множество Кантора

Треугольник Серпинского

Ковёр Серпинского

Дерево Пифагора

Круговой фрактал

Стохастические фракталы

Рукотворные фракталы

Природные фракталы

Детерминированные фракталы

Недетерминированные фракталы

Геометрические фракталы

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Рассмотренная выше кривая Пеано является геометрическим фракталом.

Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).

Снежинка Коха

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь. Попробуйте сделать то же самое методами и фигурами из евклидовой геометрии. Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L-Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов.

Треугольник Серпинского

Второе свойство фракталов - самоподобие. Возьмем, например, треугольник Серпинского. Для его построения из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Драконова ломаная

Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.

При этом каждый первый угол оказывается "вывернутым" наружу, а каждый второй - вовнутрь. Несмотря на внешнюю простоту, построение драконовой ломаной - увлекательная алгоритмическая задачка, решение которой может потребовать от вас определенных мыслительных усилий. На рисунке проиллюстрирован алгоритм построения драконовой ломаной и изображен вполне взрослый "дракон" десятого порядка.

Алгебраические фракталы

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

С течением времени стремится к бесконечности.

Стремится к 0

Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.

Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта.

Для его построения нам необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается оно a+bi. Действительная часть a это обычное число в нашем представлении, а вот мнимая часть bi интересней. i - называют мнимой единицей. Почему мнимой? А потому, что если мы возведем i в квадрат, то получим -1.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корень, нельзя только их сравнивать. Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х это действительная часть a, а Y это коэффициент при мнимой части b.

На рисунке, изображающем множество Мандельброта я взял небольшой участок и увеличил его до размеров всего экрана (как в микроскоп). Что же мы видим? Проявление самоподобности. Не точной самоподобности, но близкой и с ней мы будем сталкиваться постоянно, увеличивая части нашего фрактала больше и больше. До каких же пор мы можем увеличивать наше множество? Так вот если мы увеличим его до предела вычислительной мощности компьютеров, то покроем площадь равную площади солнечной системы вплоть до Сатурна.

Стохастические фракталы

Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма".Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы.

Фрактальные деревья

Множество заблуждений связано с фрактальностью деревьев. Древовидные объекты во многом напоминают фракталы: они строятся итеративно, они выглядят фрактально, и иногда они даже являются фракталами. Однако, в большинстве случаев, это сходство является только внешним.

Классические деревья

Давайте рассмотрим характерное дерево.

Можно ли найти его размерность подобия, как мы это делали в заметке про дробные размерности? Видно, что всё дерево подобно своим частям.

Однако не всё дерево можно составить из подобных частей. Каждая ветка действительно подобна дереву (отмечены красным и зелёным), но имеются ещё два отрезка, которые не укладываются о общую схему (чёрные). Таким образом, приведённое здесь дерево не является самоподобным объектом и искать его размерность по полученной ранее формуле нельзя.

Тем не менее, легко можно создать деревья, которые будут полностью самоподобны.

Самоподобные деревья

Чтобы сделать наше дерево самоподобным, нам просто надо заменить отрезки, которые нарушали самоподобие, на деревья. Например так:

Здесь видно, что большое дерево полностью составлено из своих маленьких подобий. Два поддерева имею коэффициент подобия 0.55 (красное и зелёное), а восемь деревьев, составляющих «ветки» - 0.08 (все восемь - чёрные).

Размерность этого дерева легко вычисляется и равна примерно 1.3788.

Можно сделать ветки более тонкими. Давайте удвоим количество под-деревьев в «ветках» и вдвое уменьшим их размер:

Размерность этого фрактала 1.3455.

Если мы ещё раз удвоим количество маленьких копий дерева в «ветках» и ещё раз уполовиним размер этих копий, то получим ещё более тонкие ветки:

Размерность такого фрактала уже 1.3200.

Самоаффинные деревья

Строго говоря, фрактал не обязательно должен быть именно самоподобен. Его фрагменты могут быть получены не только преобразованием подобия, но и любым аффинным преобразование.

С помощью аффинных преобразований можно сделать «ветки» тоньше, просто деформировав, составляющие их, части дерева.

Про то, как вычисляются размерности самоаффинных объектов я напишу как-нибудь на досуге, а здесь просто скажу, что размерность этого фрактала 1.7251.

Какую же размерность имеют обычные деревья?

Подсчёт размерности дерева зависит от того, как вы его строите.

Например, вы можете считать, что это самоаффинный фрактал, у которого фракталы-ветки выродились в отрезки. Здесь надо понимать, что ветка, в этом случае, не является просто отрезком. В каждой точке происходит наложение бесконечного числа точек, принадлежащим разным веткам сплюснутого в отрезок фрактала. То есть при таком построении дерево не состоит из отрезков, а строится из гораздо более «тяжёлых» составляющих. Для дерева с рассматриваемыми пропорциями размерность составит 1.1594.

Но если вы строите дерево честно - из отрезков, то его размерность будет просто 1. Больше того, если сумма коэффициентов подобия меньше единицы, то можно легко вычислить протяжённость всех веток (по формуле для суммы геометрической прогрессии). То есть дерево становится не просто одномерной линией, но ещё и имеет конечную длину.

Измерение тел

Сперва небольшое введение, чтобы привести наши бытовые представления об измерении тел в некоторый порядок. Не стремясь к математической точности формулировок, давайте разберёмся, что же такое размер, мера и размерность. Размер объекта можно померить линейкой. В большинстве случаев размер получается малоинформативен. Какая куча крупы больше?

Если сравнивать высоты, то больше красная, если ширины - зелёная.

Сравнение размеров может быть информативным если предметы подобны друг другу:

Теперь какие бы размеры мы ни сравнили: ширину, высоту, сторону, периметр, радиус вписанной окружности или любые другие, всегда получится, что зелёная куча больше.

Мера

Мера тоже служит для измерения объектов, но она измеряется не линейкой. О том, как именно она измеряется мы ещё поговорим, а пока отметим её главное свойство - мера аддитивна.

Выражаясь на бытовом языке, при слиянии двух объектов, мера суммы объектов равна сумме мер исходных объектов.

Для одномерных объектов мера пропорциональна размеру. Если вы возьмёте отрезки длиной 1см и 3см, «сложите» их, то «суммарный» отрезок будет иметь длину 4см (1+3).

Для не одномерных тел, мера вычисляется по некоторым правилам, которые подбираются так, чтобы мера сохраняла аддитивность. Например, если вы возьмёте квадраты со сторонами 3см и 4см и «сложите» их, то сложатся площади (9+16=25), то есть сторона (размер) результата будет 5см.

И слагаемые, и сумма являются квадратами, то есть подобны друг другу и мы можем сравнивать размеры. Оказывается, что размер суммы не равен сумме размеров.

Как же связаны мера и размер?

Размерность

Как раз размерность и позволяет связать меру и размер.

Давайте обозначим размерность - D, меру - M, размер - L. Тогда формула, связывающая эти три величины будет имеют вид:

Для привычных на мер эта формула приобретает всем знакомые обличия. Для двухмерных тел (D=2) мерой (M) является площадь (S), для трёхмерных тел (D=3) - объём (V):

Внимательный читатель спросит, по какому праву мы написали знак равенства? Ну хорошо, площадь квадрата равна квадрату его стороны, а площадь круга? Работает ли эта формула для любых объектов?

И да и нет. Вы можете заменить равенства на пропорциональности и ввести коэффициенты, а можете считать, что мы вводим размеры тел именно так, чтобы формула работала. Например для круга мы будем называть размером длину дуги равной корень из «пи» радиан. А почему нет?

В любом случае, наличие или отсутствие коэффициентов не изменит суть дальнейших рассуждений. Для простоты, я не буду вводить коэффициенты; если хотите, вы можете их добавить самостоятельно, повторить все рассуждения и убедиться, что они (рассуждения) не утратили своей справедливости.

Из всего сказанного нам следует сделать один вывод, что если фигуру уменьшить в N раз (отмасштабировать), то она будет укладываться в исходной ND раз. Действительно, если уменьшить отрезок (D=1) в 5 раз, то он поместится в исходном ровно пять раз (51=5); Если треугольник (D=2) уменьшить в 3 раза, то он уложится в исходном 9 раз (3 2 =9).

Если куб (D=3) уменьшить в 2 раза, то он уложится в исходном 8 раз (2 3 =8).

Верно и обратное: если при уменьшении размера фигуры в N раз, оказалось, что она укладывается в исходной n раз (то есть мера её уменьшилась в n раз), то размерность можно вычислить по формуле:

Не очень строго и опуская многие важные детали, мы всё же получили формулу для размерности.

Дробная размерность

Простейший пример

Про дробную размерность обычно рассказывают на примерах различных ломаных. Обратимся к звезде Коха.

Процедура её построения показана на рисунке (снизу вверх):

Эти построения повторяются бесконечное число раз и в конце концов у нас получается ломаная, состоящая из бесконечного числа отрезков. Сколько бы мы её не масштабировали, мы всё равно будем получать одно и то же.

Это и есть звезда Коха.

Строго говоря, полученное множество точек уже нельзя называть ломаной. По определению, ломаная должна состоять из конечного числа отрезков. Но я буду использовать слово «ломаная» в «нестрогом» понимании.

Давайте теперь воспользуемся нашим приёмом, чтобы определить её размерность.

Из построения и рисунка видно, что звезду можно разбить на четыре равные части, при этом размер (скажем, длина исходного отрезка) каждой части будет равен трети размера исходной фигуры. То есть будучи уменьшена в три раза, она уложится в себе четыре раза:

По аналогии с нашими предыдущими рассуждениями получаем, что размерность равна

D = ln(4)/ln(3) ≈ 1.26185950714291487419

То есть это уже не просто отрезок или ломаная (длина звезды Коха бесконечна), но и не плоская фигура, полностью покрывающая некоторую площадь.

Если мы слегка модифицируем алгоритм построения и будем извлекать не 1/3 отрезка, а 1/9, то ломаная получится более плотной:

Какова же её размерность? Теперь фигура уложится сама в себе четыре раза после уменьшения в 9/4 раза, то есть размерность можно вычислить по той же формуле:

D = ln(4)/ln(9/4) ≈ 1.70951129135145477696

Как видите, «плотность» покрытия сразу отразилась на размерности.

Давайте теперь получим более общую формулу для вычисления размерности. Для этого снова рассмотрим пример:

Итерации снова начинаются с одного отрезка. На каждом шаге итерации количество отрезков удваивается. Каждый порождает два новых: один в 0.88 раз меньше (или, вернее больше) родителя, второй - в 0.41 раз. В пределе получается следующее множество:

Давайте вернёмся к первому шагу итераций, на котором мы получили два отрезка, и посмотрим, какая часть фрактала образована из каждого из них.

Если принять, что размер полного фрактала 1, то размер зелёной части (полученной из большего отрезка) будет 0.88, а размер красной (полученной из меньшего) - 0.41.

Та формула, которой мы располагаем, уже не годится, так как мы имеем не один, а два коэффициента масштабирования. Но мы можем воспользоваться нашими знаниями о свойства меры, размера и размерности. Мера, как мы помним, аддитивна, то есть мера полного фрактала, равна сумме мер его частей:

И сам фрактал, и его части имеют одинаковую размерность (D) и мы можем выразить меры, через размеры:

А размеры мы знаем. То есть для размерности нашего фрактала мы можем написать уравнение:

1D = 0.88D + 0.41D

или просто

1 = 0.88D + 0.41D

Решить это уравнение аналитически невозможно, но «приблизительный» ответ можно «подобрать». Для этого вы можете воспользоваться моим on-line-калькулятором размерностей. В нашем случае

D ≈ 1.7835828288192

Можете проверить.

Таким образом, если фрактал образован из N подобных элементов, с коэффициентами подобия k1, k2 ... kN, то его размерность можно найти из уравнения:

1 = k1D + k2D + ... + kND

Обратите внимание, что, если все коэффициенты равны, то наша формула превращается в уже известную простую формулу:

1 = kD + kD + ... + kD = N * kD

D = ln(1/N)/ln(k)

D = ln(N)/ln(1/k)

Последнее выражение есть наша первая простая формула для вычисления размерности.

Практический расчет размерности вещества на примере расчета размерности дистиллированной воды.

Имеем графическое изображение поверхности воды:

Разделяем это изображение на подобные себе части. В данном случае проще и актуальнее разделить изображение на квадраты:

И, последний квадрат, являющийся исходным, мы уже привели выше.

Подставляем размеры в калькулятор размерностей:

Размерность воды составляет D=1.643594371.

Чем актуальны фракталы

Большинство систем в природе сочетают два свойства:

во-первых, они очень велики, часто многогранны, многообразны и сложны,

а во-вторых они формируются под действием очень небольшого количества простых закономерностей, и далее развиваются, подчиняясь этим простым закономерностям.

Это самые разные системы, начиная от кристаллов и просто кластеров (различного рода скоплений, таких как облака, реки, горы, материки, звёзды), заканчивая экосистемами и биологическими объектами (от листа папоротника до человеческого мозга).

Фракталы являются как раз такими объектами: с одной стороны - сложные (содержащие бесконечно много элементов), с другой стороны - построенные по очень простым законам. Благодаря этому свойству, фракталы обнаруживают много общего со многими природными объектами. Но фрактал выгодно отличается от природного объекта тем, что фрактал имеет строгое математическое определение и поддаётся строгому описанию и анализу.

Поэтому теория фракталов позволяет предсказать скорость роста корневых систем растений, трудозатраты на осушение болот, зависимость массы соломы от высоты побегов и многое другое.

Пример применения фракталов

Летят два облака. Первое отбрасывает тень площадью A, второе - B. Эти облака сливаются в одно. Какова будет площадь C тени этого нового облака?

Ответив на этот вопрос, можно уже делать выводы о том, какова же будет суммарная облачность.

Облака двумерные?

Если бы облака имели бы размерность 2 (то есть были бы плоскими), то они бы просто объединись и ответ бы был просто суммой

То есть два облака складываются как два куска обоев.

Но это не верно. Суммарное облако станет не только шире и длинней слагаемых, оно станет ещё и выше. При той же массе площадь будет меньше суммарной.

Облака трёхмерные?

Если бы размерность облаков была бы 3 (то есть они бы были монолитные и без пустот), то ответ бы был

C 3/2 = A 3/2 + B 3/2

C = (A 3/2 + B 3/2)2/3

Если справедливость этого выражения вызывает у вас сомнения, то предлагаю следующую аргументацию (мне бы не хотелось пускаться тут в точное доказательство). Давайте предположим, что облака имеют форму кубов. (Кубы - монолитные и трёхмерные объекты; с таким же успехом можно было бы взять шары, пирамиды или любые другие тела.) Пусть первое облако-куб имеет сторону a метров, а второе - b метров. Когда облака сложатся, то суммарное облако-куб будет иметь сторону c метров и объём равный сумме объёмов исходных облаков:

Предположим, что площади теней кубов равны площадям их сторон (это не ограничивает общности рассуждений). Тогда для площадей имеем следующие выражения:

В результате получаем выражение

C 3/2 = A 3/2 + B 3/2

Но и этот ответ не верен, потому, что облака не монолитные.

Размерность облаков

Оказывается, что размерность облаков не целая - 2.3. Правильная формула такова:

C 2.3/2 = A 2.3/2 + B 2.3/2

Как видите, у нас есть теория, описывающая объекты нецелой размерности и есть сами объекты и мы успешно применили теорию к этим объектам.

Конечно, одной этой формулы не достаточно для предсказания погоды. В реальности облака не только сливаются и разделяются, они появляются и исчезают, растут и уменьшаются, меняют свою структуру... Наша формула описывает лишь одну из составляющих всех возможных превращений. Но эту составляющую она описывает правильно.

Геометрические фракталы

Основными представителями этой группы фракталов являются такие объекты, как: кривая Пеано , снежинка Коха , треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя. .. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры «превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными отрезками. Джузеппе Пеано нарисовал особую линию, используя довольно простой алгоритм: он брал прямую линию, затем заменял её девятью отрезками, каждый из которых затем вновь подвергал этой процедуре и т.д.

Фракталы этой группы самые наглядные. Если проанализировать данные изображения, можно выделить следующие свойства геометрических фракталов:

Снежинка Коха

Каждая сторона делится на три части каждая длиной в 1/3 исходной стороны. Затем пририсовывются три меньших равносторонних треугольника по одному на каждой стороне (на стредней трети). На каждой из полученных 12 сторон пририсовываются по одному ещё меньшему треугольнику (снова на средней трети стороны).

Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть.

Каждый раз число сторон учетверяется. Число сторон можно выразить такой последовательностью:

3, 3*4, 3*4*4, 3* 4*4*4, 3* 4*4*4*4....

Убеждаемся, что число сторон снежинки бесконечно велико.

Снежинка образуется добавлением треугольника к каждой стороне, так что выписанная последовательность даёт иакже и число треугольников, добавляемое на каждом этапе (каждой итерации). Начиная со второго этапа, количество добавляемых треугольников каждый раз учетверяется.

Общую площадь снежинки можно выразить геометрическим рядом

1+ 1/3 + (1/3) * (4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9)*(4/9) + ...
Сумма этого ряда конечна и равна 1,6.

При этом периметр снежинки, напротив, бесконечен.

При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение:

• С течением времени стремится к бесконечности.
• Стремится к нулю.
• Принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы.
• Поведение хаотично, без каких либо тенденций.

Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу.
Такая последовательность точек называется орбитой при преобразовании

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную.

Первым, кто применил компьютер лдля расчёта фракталов на комплексной плоскости, стал Бенуа Мандельброт. Благодаря этому он впервые открыл нам красоту фракталов.