3 от чего зависит значение геометрической вероятности. Геометрическое определение вероятности. Задачи с решениями. Классическое определœение вероятности

IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

СТАТИСТИКА

Справочный материал и принципы решения задач

Классическое определение вероятности

Под опытом или экспериментом будем понимать всякое осуществление комплекса определенных условий, в результате которых будет происходить интересующее нас явление.

Пример 1. Опыт σ: стрельба по мишени. Событие А – попадание по мишени. Событие В – промах.

Пример 2. Опыт σ: выбор изделий из партии готовых. Событие А – изделие браковано. Событие В – изделие стандартное.

Элементарным событием (или элементарным исходом) называется любой простейший, то есть неделимый в рамках данного эксперимента, исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных событий и обозначать Ω. То есть множество исходов опытов образует пространство элементарных событий, если:

В результате опыта один из исходов обязательно происходит;

Появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;

В рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

Записывают это так:

Ω ={w 1, w 2, …w n ,…}={w k , k=1…n, …}.

Пример 3. Опыт: подбрасывание монеты 1 раз.

Здесь Ω={w г, w ц }, где w г – выпадение герба, w ц – выпадение цифры.

Опыт: монета подбрасывается 2 раза. В данном случае пространство элементарных событий Ω={w г г, w г ц, w ц г, w ц ц }.

Опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефонную станцию за время Т. Здесь Ω={0,1,2.…n,… }.

Любой набор элементарных исходов или произвольное подмножество А Ω называется случайным событием .

Пусть Ω - пространство элементарных событий, S - некоторое подмножество случайных событий, удовлетворяющее следующим условиям:

Множество S – замкнуто относительно операций сложения, умножения и отрицания.

Достоверное E и невозможное события принадлежат S.

Иногда требуют большего: для любой бесконечной последовательности событий

Подмножество S, удовлетворяющее этим условиям, называется σ – алгеброй.

Пусть задана функция, которая каждому случайному событию из S ставит в соответствие число из интервала ; Р: S → , и при этом выполняются следующие аксиомы:

,

Р(Е)=1, Р(Ø)=0,

Для любой последовательности А 1 ,…А n … попарно несовместных событий А i ÎS,

"i,j, і≠ј ,

.

Функцию Р, удовлетворяющую этим аксиомам, называют вероятностью , а значение Р(A) называют вероятностью события А .

Определение. Тройка объектов (Ω, S, Р) , где Ω – пространство элементарных событий, S – σ-алгебра, Р – вероятность, называется вероятностным пространством.

Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех случайных явлений, для которых исходов опыта конечное число n и все исходы равновозможны. В классическом определении вероятности полагают:

;

Вероятность события равной

Иными словами вероятность события равна отношению числа элементарных событий , входящих в , к общему числу элементарных событий в .

Общепринята так же следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события называется отношение числа исходов опыта, благоприятствующих появлению события , к общему числу равновозможных исходов опыта.

То есть вероятность события определяется как .

Пример 4. Какова вероятность появления герба, по крайней мере, один раз при двукратном бросании монеты?

Решение. Пространство равновозможных элементарных событий данного опыта состоит из следующих событий: Событие ={при двукратном бросании монеты герб появится, по крайней мере, один раз} состоит из несовместных элементарных событий . Следовательно, .

Таким образом, .

Пример 5. Какова вероятность того, что случайно названное двузначное число будет делиться на одиннадцать без остатка?

Решение. Так как всех двузначных чисел 90, то число равновозможных исходов данного опыта . Из этих чисел на 11 без остатка делятся 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Следовательно, число исходов, благоприятствующих событию {двузначное число будет делиться на одиннадцать без остатка} . Искомая вероятность будет равна .

Пример 6. Какова вероятность того, что в сентябре наугад выбранного года окажется 5 воскресений?

Решение. В сентябре любого года 30 дней. Количество воскресений в сентябре зависит от того, какой день недели будет 1-е сентября. 1-е сентября может быть любым днём недели. Так как в неделе 7 дней, то и число всех возможных исходов . Если сентябрь начнется с понедельника, вторника, среды, четверга или пятницы то воскресений будет 4. Если сентябрь начнется с субботы или воскресенья, то воскресений будет 5. Среди 7 равновозможных исходов 2 будут благоприятны событию {в сентябре наугад выбранного года окажется 5 воскресений}, следовательно, . Искомая вероятность .

Пример 7. Имеются пять отрезков длиной 3, 5, 6, 9 и 11 см. Определить вероятность того, что из трех наугад взятых отрезков (из этих пяти) можно построить треугольник.

Решение. Имеется равновозможных исходов данного опыта: , , , , , , , , , .

Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо, чтобы больший отрезок был меньше суммы двух других отрезков. Этому условию удовлетворяют следующие исходы , , , , . Число таких исходов . Следовательно,

.

В тех случаях, когда прямой перебор всех возможных исходов становится громоздким, целесообразно использовать комбинаторику.

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество , состоящее из элементов. Существуют два принципиально различных способа выбора элементов из множества : выбор элементов без возвращения и выбор элементов с возвращением.

Первый способ выбора элементов приводит к понятиям перестановок, размещений и сочетаний без повторений или просто перестановок, размещений и сочетаний; второй – к понятиям перестановок, размещений и сочетаний с повторениями.

Перестановкой из элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов. Каждая перестановка содержит элементов. Перестановки различаются между собой лишь порядком расположения элементов. Число различных перестановок из элементов вычисляется по формуле

.

Размещением из элементов по называется любой упорядоченный набор из различных элементов, выбранных из общей совокупности в элементов. Размещения отличаются друг от друга или порядком расположения элементов, или хотя бы одним элементом.

Число размещений вычисляется по формуле .

Сочетанием из элементов по называется любой неупорядоченный набор из различных элементов, выбранных из общей совокупности в элементов. Сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний вычисляется по формуле

.

Свойства сочетаний:

Пример 8. Пусть имеется множество из трёх элементов. Тогда все размещения двух элементов из трёх таковы: Все перестановки множества имеют вид: и Все сочетания двух элементов из множества таковы:

Размещения и сочетания с повторениями отличаются от размещений и сочетаний без повторений только тем, что в этих соединениях могут присутствовать повторяющиеся элементы.

Число размещений из элементов по с повторениями вычисляется по формуле .

Число сочетаний из элементов по с повторениями вычисляется по формуле .

Поскольку в таком виде соединений как перестановки с повторениями участвуют все элементы множества , то повторение элементов должно быть заложено в элементах множества . Так, если содержит элементов первого типа, элементов второго типа, …, элементов го типа , то число перестановок с повторениями вычисляется по формуле .

При решении комбинаторных задач могут быть полезны следующие два правила:

Правило суммы: если объект может быть выбран способами, а объект может быть выбран способами, то выбор «либо , либо » может быть осуществлен способами.

Правило произведения: если объект может быть выбран способами и после каждого из таких выборов объект , в свою очередь, может быть выбран способами, то выбор « и » в указанном порядке может быть осуществлен способами.

Пример 9. Пусть имеется групп элементов, причем -я группа состоит из – элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы, тогда общее число способов, которыми можно произвести такой выбор по правилу произведения

. (1)

Если , то можно считать, что выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда .

Пример 10. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым студентом любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из троих задуманные числа совпадут.

Решение . Вначале посчитаем общее количество исходов. Первый из студентов выбирает одно из 10 чисел, Второй и третий делают то же самое, Согласно формуле (1), общее число способов будет равно Подсчитаем число благоприятных исходов. Для этого сначала найдем общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений. Первый студент может выбрать любое из 10 чисел, второй любое из 9 чисел, а третий студент – любое из оставшихся 8 чисел. Поэтому общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений, по формуле (1) равно Остальные случаи (1000 – 720 =280) характеризуются наличием хотя бы одного совпадения. Следовательно, искомая вероятность равна

Пример 11. По линии связи в случайном порядке передаются все буквы русского алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится последовательность букв, которая начинается словом «мир».

Решение. Русский алфавит содержит 33 буквы. Так как по линии связи передаются все буквы, то число равновозможных исходов опыта . Из этих исходов благоприятными появлению события {появится последовательность букв, которая начинается словом «мир»} будут все исходы, в которых на первых трех позициях будет стоять слово «мир» (такому выбору соответствует один исход), а остальные позиции будут заполнены любым образом (число таких вариантов ). По правилу произведения число благоприятных исходов .

Следовательно,

Пример 12. Из урны, содержащей 3 шара, три раза наудачу вынимается по одному шару с возвращением каждый раз обратно. Найти вероятность того, что в руке перебывают все шары.

Решение. По условию задачи шары возвращаются в урну, следовательно, имеем схему выбора элементов с возвращением.

Число всех возможных исходов данного опыта – это число размещений из трех элементов по три с повторениями, то есть

.

Благоприятными событию A ={ } будут те исходы, в которых элементы (шары) не будут повторяться. Число таких исходов – это число размещений из трех элементов по три, или число перестановок из трех элементов, то есть . Так как все исходы опыта равновозможные, то

.

Пример 13. Технический контроль проверяет из партии в 500 деталей 20 деталей, взятых наудачу. Партия содержит 15 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что среди проверяемых деталей будет ровно две нестандартные?

Решение. Так как по условию задачи 20 деталей из 500 извлекаются наудачу, то все возможные варианты извлечения 20 деталей из 500 естественно считать равновозможными и для нахождения требуемой вероятности воспользоваться классической схемой (классическим определением вероятности).

Порядок следования стандартных и нестандартных деталей в извлекаемых 20 не играет роли. Важно только количество стандартных и нестандартных деталей. Следовательно, количество всех возможных способов, которыми это можно сделать, равно , то есть .

Событию ={среди проверяемых деталей будет ровно две нестандартные} (следовательно, остальные 18 должны быть стандартными), будет соответствовать (правило произведения) исходов, то есть . Таким образом,

.

Пример 14. Трехзначное число составляется следующим образом: бросаются три игральные кости: белая, синяя и красная; число выпавших очков на белой кости – это число сотен, число выпавших очков на синей кости – это число десятков, а число выпавших очков на красной кости – это число единиц трехзначного числа. Какова вероятность того, что полученное таким образом число будет больше 456?

Решение. Количество всех чисел, которые можно получить указанным способом, в соответствие с правилом произведения, будет равно .

Посчитаем количество исходов опыта, благоприятных появлению события А. Числа, большие 456, будут получаться, если число сотен будет больше 4, то есть 5 или 6 или число сотен будет равно 4, а число десятков будет больше чем 5, то есть 6. Пусть число сотен будет равно 5. Таких опытов будет так как число десятков и единиц может произвольно меняться от 1 до 6. Такие же рассуждения справедливы, если число сотен равно 6. Опытов, у которых первые две цифры 45 будет 6. Используя правила произведения и суммы, найдем количество таких чисел . Так как все исходы опыта равновозможные, то искомая вероятность .

Пример 15. Трем радиостанциям разрешена работа на шести различных частотах. Определить вероятность того, что, по крайней мере, две радиостанции будут работать на одинаковых частотах, если выбор частот производится наугад.

Решение. Число всех равновозможных исходов опыта – это число размещений из шести элементов (частот) по три с повторениями, то есть . Благоприятными событию A ={по крайней мере, две радиостанции будут работать на одинаковых частотах} будут те исходы, в которых элементы (частоты) будут повторяться. Число таких исходов – представляет собой сумму исходов, в которых две радиостанции работают на одной частоте – и три радиостанции работают на одной частоте – . Число исходов, в которых две из трех радиостанций могут работать на одной из шести частот, – это . Число различных частот – 6. Третья радиостанция может работать на одной из пяти «незанятых» частот. По правилу произведения . Очевидно, что число исходов (три радиостанции будут работать на одной частоте) равно 6 .

Таким образом, .

Следовательно, .

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение обобщает классическое определение вероятности на случай, когда пространство элементарных событий представляет собой подмножество пространства .

Является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы - это отдельные точки G, любое событие - это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) - геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов - это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. .

Для искомой вероятности получаем: .

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой:

(2) где m-число появлений события, n-общее число испытаний . Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Пример 2 . Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С. Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Доказательство

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A 1 + A 2 + ... + A n) = Р (A 1) + Р (A 2) + ... + Р (A n).

Классическое определœение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием принято называть событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. К примеру, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие принято называть достоверным, в случае если в результате испытания оно обязательнопроисходит. Невозможным принято называть событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, в случае если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, в случае если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход принято называть благоприятствующим появлению события А, в случае если появление этого события влечет за собой появление события А.

Геометрическое определœение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы - ϶ᴛᴏ отдельные точки G, любое событие - ϶ᴛᴏ подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что всœе точки G ʼʼравноправныʼʼ и тогда вероятность попадания точки в неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ подмножество пропорционально его мере (длинœе, площади, объёму) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением: , где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объёмы) всœего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осœевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осœевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда всœе пространство элементарных исходов - ϶ᴛᴏ отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, в случае если его центр попадет в полосу, ᴛ.ᴇ. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, ᴛ.ᴇ. .

Для искомой вероятности получаем: .

5. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, относительная частота А определяется формулой:

(2)где m-число появлений события, n-общее число испытаний . Сопоставляя определœение вероятности и относительной частоты, заключаем: определœение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определœение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта͵ а относительную частоту - после опыта.

Пример 2. Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определœением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота͵ принято называть статистической вероятностью этого события.

6. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. К примеру, в случае если из орудия произведены два выстрела и А - попадание при первом выстрелœе, В - попадание при втором выстрелœе, то А + В - попадание при первом выстрелœе, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, в случае если два события А и B - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.Суммой нескольких событий называют событие, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. К примеру, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.Пусть события A и В - несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на данный вопрос дает теорема сложения.Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).Доказательство

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A 1 + A 2 + ... + A n) = Р (A 1) + Р (A 2) + ... + Р (A n).

Геометрическое определение вероятности - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Геометрическое определение вероятности" 2017, 2018.

Как было показано в разделе «Классическое определение вероятности» , в случайных экспериментах с конечным числом равновозможных элементарных исходов применяется классическое определение вероятности .

Для введения вероятности событий в случайных экспериментах, возможные результаты которых (элементарные исходы) также являются равновозможными и целиком заполняют отрезок прямой линии, фигуру на плоскости или область в пространстве, применяется геометрическое определение вероятности . В таких экспериментах число элементарных исходов не является конечным , и поэтому классическое определение вероятности к ним применять нельзя.

Проиллюстрируем введение геометрического определения вероятности на примерах.

Пример 1 . На отрезок числовой прямой наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попала на отрезок (рис.1).

Ответ:

Пример 2 . Диагонали KM и LN квадрата KLMN пересекают вписанную в квадрат окружность в точках E и F , точка O - центр окружности (рис. 2).

В квадрат KLMN наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет в сектор EOF, отмеченный на рисунке 2 розовым цветом.

Ответ:

Пример 3 . В конус с вершиной S и центром основания O наугад брошена точка. Найти вероятность того, что точка попадет в усеченный конус , полученный при сечении конуса плоскостью, проходящей через середину O" высоты конуса и параллельной основанию конуса (рис. 3).

Решение . Множеством элементарных исходов Ω случайного эксперимента по бросанию точки служит множество всех точек конуса с вершиной S и центром основания O .

Попадание точки в усеченный конус является одним из случайных событий, которое мы обозначим буквой A .

При геометрическом определении вероятность события A вычисляется по формуле

Обозначим буквой R радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O , а буквой H - высоту этого конуса. Тогда радиус основания и высота конуса с вершиной S и центром основания O" будут равны

соответственно.

Объем конуса с вершиной S и центром основания O равен

Классическое определение вероятности связано с понятием элементарного события. Рассматривается некий набор Ω равновероятных событий A i , которые в совокупности дают достоверное событие. И тогда все хорошо: всякое событие разбивается на элементарные, после чего считается его вероятность.

Однако, далеко не всегда исходный набор Ω (т.е. пространство всех элементарных событий) является конечным. Например, в качестве Ω можно взять ограниченное множество точек на плоскости или отрезок на прямой.

В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.

Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно.

Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме по-любому больше P (Ω) = 1.

Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω - это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.

Геометрическая вероятность события A , являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости - это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω:

Задача. Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены.

Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S (A ) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем:

Как видите, ничего сложного в геометрической вероятности нет. Однако даже в Москве многие репетиторы по высшей математике стараются обойти эту тему стороной, поскольку считают ее необязательной. Результат - непонимание материала и, как следствие, проблемы на экзамене по теории вероятностей.

Чтобы наглядно представить себе, что такое геометрическая вероятность, возьмите лист бумаги и начертите произвольную фигуру. Треугольник, квадрат или окружность - что угодно. Затем возьмите острый, хорошо заточенный карандаш и ткните им в любую точку фигуры. Повторите этот нехитрый процесс несколько раз. Если исключить попадания за пределами фигуры, то получится вот что:

1. Вероятность попадания в фигуру равна P (Ω) = 1. Это вполне логично, поскольку вся наша фигура - это и есть пространство элементарных событий Ω;
2. Если некоторую точку (элементарное событие) отметить заранее, то вероятность попадания именно в нее равна нулю. Даже если специально «целиться», точного попадания не будет. Ошибка составит тысячные доли миллиметра, но не ноль;
3. Теперь возьмем две точки. Вероятность попадания в любую из них все равно ноль. Аналогично, если взять 3 точки. Или пять - без разницы.

Этот опыт показывает, что конечная сумма нулевых слагаемых всегда равна нулю. Но что происходит, когда слагаемых становится бесконечно много? Здесь ситуация не так однозначна, и возможны три варианта:

1. Сумма равна нулю, как и для конечного набора точек. Если в нашем опыте отмечать точки до бесконечности, вероятность попадания в их объединение все равно нулевая;
2. Сумма равна некоторому положительному числу - этот случай принципиально отличается от первого. Здесь и возникает геометрическая вероятность;
3. Сумма равна бесконечности - бывает и такое, но сейчас нас это не интересует.

Почему так происходит? Механизм возникновения положительных чисел и бесконечностей связан с понятием счетности множества. Кроме того, надо понимать, что такое мера Лебега. Впрочем, эти знания действительно нужны вам, только если вы учитесь на математика.